Considere o conjunto
Mostre que o conjunto é limitado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto e pede para mostrarmos que o conjunto é limitado. Aqui, estamos lidando com conjuntos numéricos e o conceito de limitação de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado e analisar os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto limitado. Um conjunto de números reais é limitado se existe um número real que é maior ou igual a todos os seus elementos (limite superior) e outro que é menor ou igual a todos eles (limite inferior). Ou seja, todos os elementos do conjunto estão “dentro” de algum intervalo finito na reta numérica.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Vamos simplificar a expressão :
À medida que cresce, diminui e se aproxima de zero. Então, o valor de se aproxima de 2. Portanto, podemos dizer que os elementos de estão se aproximando de 2 à medida que aumenta.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites superior e inferior de . Para :
E, como vimos, à medida que aumenta, se aproxima de 2, mas nunca ultrapassa esse valor. Portanto, o limite superior de é 2.
O menor valor ocorre para , que é . Assim, o limite inferior de é aproximadamente 0,666.

Passo 5

Agora que sabemos que todos os elementos de estão entre aproximadamente 0,666 e 2, vamos considerar o conjunto . O intervalo contém todos os números entre -1 e 0.

Passo 6

Para mostrar que é limitado, precisamos encontrar um limite inferior e superior que contenha todos os elementos de . Observamos que:
  • Os elementos de são maiores que -1 e menores que 0.
  • Os elementos de são maiores que aproximadamente 0,666 e menores que 2.
Portanto, todos os elementos de estão entre -1 e 2.

Resposta

O conjunto é limitado, pois todos os seus elementos estão entre -1 e 2.

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