Considere o conjunto
Mostre que o conjunto
é limitado;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto
e pede para mostrarmos que o conjunto
é limitado. Aqui, estamos lidando com conjuntos numéricos e o conceito de limitação de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado e analisar os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto limitado. Um conjunto de números reais é limitado se existe um número real que é maior ou igual a todos os seus elementos (limite superior) e outro que é menor ou igual a todos eles (limite inferior). Ou seja, todos os elementos do conjunto estão “dentro” de algum intervalo finito na reta numérica.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Vamos simplificar a expressão
:
À medida que
cresce,
diminui e se aproxima de zero. Então, o valor de
se aproxima de 2. Portanto, podemos dizer que os elementos de
estão se aproximando de 2 à medida que
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites superior e inferior de
. Para
:
E, como vimos, à medida que
aumenta,
se aproxima de 2, mas nunca ultrapassa esse valor. Portanto, o limite superior de
é 2.
O menor valor ocorre para
, que é
. Assim, o limite inferior de
é aproximadamente 0,666.
Passo 5
Agora que sabemos que todos os elementos de
estão entre aproximadamente 0,666 e 2, vamos considerar o conjunto
. O intervalo
contém todos os números entre -1 e 0.
Passo 6
Para mostrar que
é limitado, precisamos encontrar um limite inferior e superior que contenha todos os elementos de
. Observamos que:
- Os elementos de
são maiores que -1 e menores que 0. - Os elementos de
são maiores que aproximadamente 0,666 e menores que 2.
Portanto, todos os elementos de
estão entre -1 e 2.
Resposta
O conjunto
é limitado, pois todos os seus elementos estão entre -1 e 2.
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