Resolva:

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos a equação diferencial:
Matéria envolvida:
Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem que podem ser separadas, ou seja, onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre equações diferenciais separáveis.
  • Técnicas de integração para resolver as integrais que surgirem.

Passo 2

Rearranjando a equação:
Primeiro, vamos isolar :

Passo 3

Separando as variáveis:
Queremos ter todos os termos com de um lado e os com do outro. Vamos dividir ambos os lados pela expressão que envolve :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é que, após a separação, cada lado só depende de uma variável, facilitando a integração.
Integral do lado esquerdo (em ):
Integral do lado direito (em ):

Passo 5

Resolvendo a integral em :
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo:
Podemos fatorar o denominador:
Então,
Essa é uma integral do tipo:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo a integral em :
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Colocando tudo junto:
Igualando as integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Dê exemplos de funções e tais que
Considere o conjunto
Mostre que o conjunto é limitado;
Resolva: