Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem que podem ser separadas, ou seja, onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
O que vamos precisar:
Conhecimento sobre equações diferenciais separáveis.
Técnicas de integração para resolver as integrais que surgirem.
Passo 2
Rearranjando a equação:
Primeiro, vamos isolar :
Passo 3
Separando as variáveis:
Queremos ter todos os termos com de um lado e os com do outro. Vamos dividir ambos os lados pela expressão que envolve :
Dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é que, após a separação, cada lado só depende de uma variável, facilitando a integração.
Integral do lado esquerdo (em ):
Integral do lado direito (em ):
Passo 5
Resolvendo a integral em :
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo:
Podemos fatorar o denominador:
Então,
Essa é uma integral do tipo:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo a integral em :
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Colocando tudo junto:
Igualando as integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar: