Universidade Federal de Santa Catarina<br>Centro Tecnológico, de Ciências Exatas e Educação<br>Disciplina: MAT1701 - Análise na Reta I (24.2)<br>Professor: Cleison dos Santos Ramthun<br>(e-mail: cleison.ramthun@ufsc.br)
Lista de Exercícios - 3
- Prove as seguintes unicidades:
a) Se
para algum
, então,
.
b) Se
para todo
, então,
.
c) Se
, então,
.
d) Se
, então,
.
- Suponha que
. Prove que
.
- Prove que
para todo
e
.
4. Para quaisquer
, prove que
.
5. Prove que
para quaisquer
.
6. Dados
, se
, prove que
.
7. Prove que
, então,
.
8. Se
e
são positivos, prove que
- Mostre que se
e
, então,
. (Dica:
.
- Suponha que
e
sejam números reais tais que
. Mostre que
- Mostre que
, para todo
.
- Determine, se existir,
, em que
- Determine, se existir,
e inf
, em que
- Suponhamos que
e
sejam conjuntos não-vazios limitados. Prove que se
, então,
e que
.
- Suponha que
e
sejam conjuntos não-vazios, limitados superiormente. Defina o conjunto
Mostre que:
a)
é um conjunto limitado superiormente.
b)
. (Dica: Se quiser, use uma caracterização de supremo para provar o solicitado).
16. Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
a) Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.
b) Dê exemplos de funções
e
tais que
c) Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
:
é uma função limitada superiormente e que
.
Bom trabalho!
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
4. Para quaisquer
5. Prove que
6. Dados
7. Prove que
8. Se
a)
b)
16. Diz-se que uma função
b) Dê exemplos de funções
Bom trabalho!
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se, para algum número real
, a soma
é igual a
, então necessariamente
tem que ser zero. Aqui, estamos lidando com propriedades básicas dos números reais e operações de soma. Para resolver isso, vamos usar regras simples da álgebra.
Passo 2
Primeiro, temos a equação dada:
Nosso objetivo é descobrir o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 3
Para isolar
, podemos subtrair
de ambos os lados da equação. Isso é permitido porque o que fazemos em um lado da igualdade, devemos fazer no outro para manter a igualdade válida.
Então, subtraindo
dos dois lados:
Passo 4
Simplificando os termos:
- Do lado esquerdo,
cancela e sobra apenas . - Do lado direito,
também cancela, resultando em zero.
Portanto:
Resposta
Então, provamos que se
para algum
, então
.