Universidade Federal de Santa Catarina<br>Centro Tecnológico, de Ciências Exatas e Educação<br>Disciplina: MAT1701 - Análise na Reta I (24.2)<br>Professor: Cleison dos Santos Ramthun<br>(e-mail: cleison.ramthun@ufsc.br)

Lista de Exercícios - 3

  1. Prove as seguintes unicidades:
    a) Se x + y = x para algum x em R, então, y = 0.
    b) Se x * y = x para todo x em R, então, y = 1.
    c) Se x + y = 0, então, y = -x.
    d) Se x * y = 1, então, y = x^(-1).
  2. Suponha que a, b pertencem a R - {0}. Prove que (a b)^{-1} = a^{-1} b^{-1} rewritten: 1/(a b) = 1/a * 1/b.
  3. Prove que
(1 - x^(n+1)) / (1 - x) = 1 + x + x^2 + ... + x^n
para todo n in N e x != 1.
4. Para quaisquer x, y, z em R, prove que |x - z| <= |x - y| + |y - z|.
5. Prove que ||x| - |y|| <= |x - y| para quaisquer x, y em R.
6. Dados x, y em R, se x^2 + y^2 = 0, prove que x = y = 0.
7. Prove que |a-b| < epsilon, então, |a| < |b| + epsilon.
8. Se
a1/b1, a2/b2, ..., an/bn in (alpha, beta)
e b1, b2, ..., bn são positivos, prove que
(a1 + a2 + ... + an) / (b1 + b2 + ... + bn) in (alpha, beta)
  1. Mostre que se a > 0, b > 0 e a^2 < b^2, então, a < b. (Dica: b^2 - a^2 = (b - a) * (b + a).
  2. Suponha que a e b sejam números reais tais que a < b. Mostre que
a < (a + b) / 2 < b
  1. Mostre que a b <= (a^2 + b^2) / 2, para todo a, b in R.
  2. Determine, se existir, sup A e inf A, em que
A = { x em R ; x^2 - x - 6 < 0 }
  1. Determine, se existir, sup B e inf B, em que
B = { n / (n + 1) ; n em N }
  1. Suponhamos que A ⊆ R e B ⊆ R sejam conjuntos não-vazios limitados. Prove que se A ⊆ B, então, inf A ≥ inf B e que sup A <= sup B.
  2. Suponha que A ⊆ R e B ⊆ R sejam conjuntos não-vazios, limitados superiormente. Defina o conjunto
A + B = {a + b ; a em A, b em B}
Mostre que:
a) A + B é um conjunto limitado superiormente.
b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B). (Dica: Se quiser, use uma caracterização de supremo para provar o solicitado).
16. Diz-se que uma função f: X -> R é limitada superiormente quando sua imagem f(X) f(x) ; x in X for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
sup f = sup { f(x) ; x in X }
a) Prove que se f, g: X -> R forem funções limitadas superiormente, então, f + g: X -> R é limitada superiormente e que sup(f + g) <= sup(f) + sup(g).
b) Dê exemplos de funções f e g tais que
sup(f+g) < sup(f) + sup(g)
c) Dadas as funções f, g: X -> R+limitadas superiormente, prove que o produto f * g : X -> R+é uma função limitada superiormente e que sup(f * g) <= (sup f) * (sup g).
Bom trabalho!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se, para algum número real , a soma é igual a , então necessariamente tem que ser zero. Aqui, estamos lidando com propriedades básicas dos números reais e operações de soma. Para resolver isso, vamos usar regras simples da álgebra.

Passo 2

Primeiro, temos a equação dada:
Nosso objetivo é descobrir o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Para isolar , podemos subtrair de ambos os lados da equação. Isso é permitido porque o que fazemos em um lado da igualdade, devemos fazer no outro para manter a igualdade válida.
Então, subtraindo dos dois lados:

Passo 4

Simplificando os termos:
  • Do lado esquerdo, cancela e sobra apenas .
  • Do lado direito, também cancela, resultando em zero.
Portanto:

Resposta

Então, provamos que se para algum , então .

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