Resolva:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve a função e sua derivada . Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e então aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Simplificando a fração, temos:

Passo 3

Observamos que a equação está na forma:
onde e . Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Como , substituímos por :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral da esquerda é simplesmente , e a da direita é:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Considere o conjunto
Mostre que o conjunto é limitado;
Resolva:
Resolva:
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;