Resolva:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve a função
e sua derivada
. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e então aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Simplificando a fração, temos:
Passo 3
Observamos que a equação está na forma:
onde
e
. Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Como
, substituímos
por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral da esquerda é simplesmente
, e a da direita é:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
Mostre que o conjunto
é limitado;
Resolva:
Resolva:
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;