Considere um conjunto formado pelo único elemento LUA. Será este conjunto um espaço vetorial com as operações; e k(LUA)= LUA com k real. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um conjunto que contém apenas um elemento: LUA. Queremos saber se esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial usando as operações definidas:
Adição:
Multiplicação por escalar: , onde é um número real.
Para verificar se isso forma um espaço vetorial, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer certos axiomas. Vamos ver passo a passo se esses axiomas são atendidos.
Passo 2
O primeiro axioma que vamos verificar é a fechamento sob a adição. Isso significa que, se você adicionar dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
No nosso caso:
Como o resultado da adição está de acordo com a operação definida e permanece no conjunto (que só tem LUA), o fechamento sob adição é satisfeito.
Passo 3
O próximo axioma é o fechamento sob a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que multiplicar qualquer elemento do conjunto por um número real deve resultar em um elemento que também está no conjunto.
Aqui, temos:
Independentemente do valor de , o resultado é sempre LUA, que está no conjunto. Portanto, o fechamento sob multiplicação por escalar também é satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar a existência de um elemento nulo para a adição, que é um vetor que, quando adicionado a qualquer vetor, não altera o vetor. No nosso caso, devemos ter que:
Sabemos que , então se considerarmos , temos:
Portanto, o elemento nulo é LUA, e isso satisfaz o axioma.
Passo 5
Também precisamos do vetor oposto para cada elemento, que é um vetor que, quando adicionado ao original, resulta no elemento nulo. Aqui:
Então, o vetor oposto de LUA também é LUA, pois:
Isso mantém a consistência com o elemento nulo definido anteriormente.
Passo 6
Finalmente, vamos considerar os axiomas de associatividade e distributividade. Como há apenas um elemento no conjunto, essas propriedades são automaticamente satisfeitas, pois qualquer operação com LUA sempre resultará em LUA.
Resposta
Sim, o conjunto formado pelo único elemento LUA, com as operações definidas e , satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial.