Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos? Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pensar se é possível ter um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos. Isso está relacionado com o conceito de espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e quais são os requisitos para que um conjunto de vetores forme um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (ou campo)
é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que seguem regras específicas (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).
Passo 3
Agora, vamos considerar um espaço vetorial que tem exatamente dois vetores distintos. Vamos chamar esses vetores de
(o vetor zero) e
. Para que isso seja um espaço vetorial, precisamos que todas as operações de adição e multiplicação por escalar estejam bem definidas e mantenham os vetores dentro do conjunto.
Passo 4
Vamos ver a adição de vetores. Temos:
Para que o conjunto seja fechado sob adição,
precisa ser um vetor do conjunto, ou seja, deve ser igual a
ou
.
Passo 5
Se
, isso implica que:
Isso significa que o vetor
tem ordem 2, ou seja, dobrando ele, a gente volta ao vetor zero. Isso só é possível se o campo
tiver característica 2, como o campo
que tem apenas dois elementos: 0 e 1.
Passo 6
Portanto, sim, é possível ter um espaço vetorial com exatamente dois vetores distintos, mas isso só acontece se estivermos trabalhando sobre um campo com exatamente dois elementos, como
. Nesse caso, o espaço vetorial seria formado pelo vetor zero
e outro vetor
, onde
.
Resposta
Sim, é possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos quando o campo subjacente possui apenas dois elementos, como no caso do campo
. Nesse cenário, o espaço vetorial consiste no vetor zero e em outro vetor que, somado a si mesmo, resulta no vetor zero.