Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pensar se é possível ter um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos. Isso está relacionado com o conceito de espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e quais são os requisitos para que um conjunto de vetores forme um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (ou campo) é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que seguem regras específicas (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).

Passo 3

Agora, vamos considerar um espaço vetorial que tem exatamente dois vetores distintos. Vamos chamar esses vetores de (o vetor zero) e . Para que isso seja um espaço vetorial, precisamos que todas as operações de adição e multiplicação por escalar estejam bem definidas e mantenham os vetores dentro do conjunto.

Passo 4

Vamos ver a adição de vetores. Temos:
Para que o conjunto seja fechado sob adição, precisa ser um vetor do conjunto, ou seja, deve ser igual a ou .

Passo 5

Se , isso implica que:
Isso significa que o vetor tem ordem 2, ou seja, dobrando ele, a gente volta ao vetor zero. Isso só é possível se o campo tiver característica 2, como o campo que tem apenas dois elementos: 0 e 1.

Passo 6

Portanto, sim, é possível ter um espaço vetorial com exatamente dois vetores distintos, mas isso só acontece se estivermos trabalhando sobre um campo com exatamente dois elementos, como . Nesse caso, o espaço vetorial seria formado pelo vetor zero e outro vetor , onde .

Resposta

Sim, é possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos quando o campo subjacente possui apenas dois elementos, como no caso do campo . Nesse cenário, o espaço vetorial consiste no vetor zero e em outro vetor que, somado a si mesmo, resulta no vetor zero.

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