Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Passo 1
Beleza, vamos verificar se o conjunto é uma base do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases, espaços vetoriais, e independência linear. Precisamos saber se esses três vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes, ou seja, não formam uma base de R^3. Isso significa que eles não conseguem gerar todo o espaço R^3.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o subespaço gerado pelos vetores de S. Para isso, vamos determinar quais combinações lineares desses vetores formam esse subespaço.
Consideramos uma combinação linear igual a zero:
a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(-1,1,0) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
a - c = 0 b + c = 0 a + b = 0
Resolvendo, encontramos que c = a, b = -a, e a = -b. Portanto, os vetores são dependentes, e podemos expressar um deles em função dos outros.
Passo 6
Escolhemos dois vetores que são linearmente independentes para formar uma base do subespaço. Observando S, os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes, pois nenhum é um múltiplo do outro.
Passo 7
Portanto, o subespaço gerado por S é um plano em R^3, e uma base para esse subespaço é (1,0,1), (0,1,1). A dimensão desse subespaço é 2, já que precisamos de dois vetores para a base.
Resposta
O conjunto S = (1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0)não é uma base de R^3. O subespaço gerado por S é um plano em R^3, com uma base dada por (1,0,1), (0,1,1) e dimensão 2.