Verificar se os seguintes conjuntos são bases do R^3. Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto: S=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto S = (1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0) é uma base do espaço R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases, espaços vetoriais, e independência linear. Precisamos saber se esses três vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto S em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.
O determinante de A é calculado assim:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1)
det(A) = 1 cdot (-1) - 0 cdot (-1) + (-1) cdot (-1) = -1 + 0 + 1 = 0

Passo 4

Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes, ou seja, não formam uma base de R^3. Isso significa que eles não conseguem gerar todo o espaço R^3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o subespaço gerado pelos vetores de S. Para isso, vamos determinar quais combinações lineares desses vetores formam esse subespaço.
Consideramos uma combinação linear igual a zero:
a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(-1,1,0) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
a - c = 0 b + c = 0 a + b = 0
Resolvendo, encontramos que c = a, b = -a, e a = -b. Portanto, os vetores são dependentes, e podemos expressar um deles em função dos outros.

Passo 6

Escolhemos dois vetores que são linearmente independentes para formar uma base do subespaço. Observando S, os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes, pois nenhum é um múltiplo do outro.

Passo 7

Portanto, o subespaço gerado por S é um plano em R^3, e uma base para esse subespaço é (1,0,1), (0,1,1). A dimensão desse subespaço é 2, já que precisamos de dois vetores para a base.

Resposta

O conjunto S = (1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0) não é uma base de R^3. O subespaço gerado por S é um plano em R^3, com uma base dada por (1,0,1), (0,1,1) e dimensão 2.

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