Seja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Dado , determine as coordenadas de em relação à base . (valor:1.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas bases em um espaço tridimensional . A base padrão e outra base . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de na base . Queremos achar os escalares , e tais que:
Ou seja, expressar como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Agora, vamos substituir os vetores , e pelas expressões dadas em termos da base :
Substituindo na equação de :
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos por componentes , e :
Sabemos que (pois ). Então, igualando as componentes: