Seja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Dado , determine as coordenadas de em relação à base . (valor:1.3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas bases em um espaço tridimensional . A base padrão e outra base . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de na base . Queremos achar os escalares , e tais que:
Ou seja, expressar como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Agora, vamos substituir os vetores , e pelas expressões dadas em termos da base :
Substituindo na equação de :

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos por componentes , e :
Sabemos que (pois ). Então, igualando as componentes:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Substituindo na primeira equação:
  1. Com , então e

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

Exercícios relacionados

Seja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que é base de . Sugestão: Basta mostrar que é L.I. (valor:0,7)
Passar o ponto para o sistema esférico.
Considere o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A matrizes desse conjunto têm a forma:
Verifique por que é um espaço vetorial.
Dadas as equações das parábolas: 2.1) 2.2) , Determine para cada uma delas os seguintes itens: as equações da diretriz e do eixo focal;