Seja uma base de V^3 e seja F=(f1, f2, f3) uma tripla ordenada de vetores, tais que:
l f1=2 e1-e2-e3 f2=e1-e3 f3=e2
Dado v=(1,0,-1)E, determine as coordenadas de v em relação à base F. (valor:1.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas bases em um espaço tridimensional . A base padrão e outra base . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de v = a f1 + b f2 + c f3 na base . Queremos achar os escalares , e tais que:
Ou seja, expressar como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Agora, vamos substituir os vetores f1 = 2e1 - e2 - e3 f2 = e1 - e3 f3 = e2 , v = a(2e1 - e2 - e3) + b(e1 - e3) + c e2 e pelas expressões dadas em termos da base :
Substituindo na equação de :
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos por componentes v = (2a + b)e1 + (-a + c)e2 + (-a - b)e3 , 2a + b = 1 (componente e1) -a + c = 0 (componente e2) -a - b = -1 (componente e3) e 2a + (-a + 1) = 1 a + 1 = 1 a = 0 :
Sabemos que (pois ). Então, igualando as componentes: