Seja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que é base de . Sugestão: Basta mostrar que é L.I. (valor:0,7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a tripla de vetores forma uma base do espaço tridimensional . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos mostrar que esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos provar isso, então realmente é uma base de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação tem que , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos:
Substituindo os vetores e pelas expressões dadas:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes e :
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa combinação seja igual a zero, os coeficientes de e devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .
  4. Se , então e .

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os vetores são linearmente independentes. Portanto, é realmente uma base de .

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Passar o ponto para o sistema esférico.
Mostre que se , então ou .
Seja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Dado , determine as coordenadas de em relação à base . (valor:1.3)
Considere o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A matrizes desse conjunto têm a forma:
Verifique por que é um espaço vetorial.