Seja uma base de V^3 e seja F=(f1, f2, f3) uma tripla ordenada de vetores, tais que:
l f1=2 e1-e2-e3 f2=e1-e3 f3=e2
Verifique que F=(f1, f2, f3) é base de V^3. Sugestão: Basta mostrar que (f1, f2, f3) é L.I. (valor:0,7)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a tripla de vetores forma uma base do espaço tridimensional . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos mostrar que esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos provar isso, então realmente é uma base de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação tem que , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos:
c1 cdot f1 + c2 cdot f2 + c3 cdot f3 = 0
Substituindo os vetores c1 (2e1 - e2 - e3) + c2 (e1 - e3) + c3 e2 = 0 e pelas expressões dadas:
Para que essa combinação seja igual a zero, os coeficientes de 2c1 + c2 = 0 -c1 + c3 = 0 -c1 - c2 = 0 e devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Se , então e .
Resposta
Como a única solução para o sistema é , os vetores são linearmente independentes. Portanto, é realmente uma base de .