Seja F=(e1, e2, e3) uma base de V^3 e seja F=(f1, f2, f3) uma tripla ordenada de vetores, tais que:
l f1=2 e1-e2-e3 f2=e1-e3 f3=e2
Verifique que F=(f1, f2, f3) é base de V^3. Sugestão: Basta mostrar que (f1, f2, f3) é L.I. (valor:0,7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a tripla de vetores forma uma base do espaço tridimensional . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos mostrar que esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos provar isso, então realmente é uma base de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação tem que , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos:
c1 cdot f1 + c2 cdot f2 + c3 cdot f3 = 0
Substituindo os vetores c1 (2e1 - e2 - e3) + c2 (e1 - e3) + c3 e2 = 0 e pelas expressões dadas:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes (2c1)e1 + (-c1)e2 + (-c1)e3 + (c2)e1 + (-c2)e3 + (c3)e2 = 0 e (2c1 + c2)e1 + (-c1 + c3)e2 + (-c1 - c2)e3 = 0 :
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa combinação seja igual a zero, os coeficientes de 2c1 + c2 = 0 -c1 + c3 = 0 -c1 - c2 = 0 e devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .
  4. Se , então e .

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os vetores são linearmente independentes. Portanto, é realmente uma base de .

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