Considere o conjunto S de todos os números reais x in [0,1] que tem uma expansão decimal da forma
x = 0, d1 d2 d3 ... dn ...
onde todos os dígitos di então no conjunto {0, 2, 3, 4, 6, 7, 9}. Indique a afirmação falsa.
(d) Existe um intervalo aberto não vazio inteiramente contido em S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de números reais entre 0 e 1 que são escritos com dígitos específicos: 0, 2, 3, 4, 6, 7 e 9. A questão pergunta qual das afirmações sobre esse conjunto é falsa. A gente vai precisar entender um pouco sobre conjuntos e intervalos na reta real para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um número tem uma expansão decimal com apenas esses dígitos. Por exemplo, o número 0,234 está em porque usa apenas os dígitos permitidos. Já 0,125 não está, pois o 1 e o 5 não são permitidos.
Agora, um intervalo aberto na reta real é um conjunto de números onde, para qualquer número dentro desse intervalo, você pode encontrar outros números também dentro desse intervalo, sem incluir os próprios limites. Por exemplo, o intervalo aberto (0, 1) contém todos os números entre 0 e 1, mas não inclui 0 e 1.

Passo 3

A afirmação que queremos analisar é: "Existe um intervalo aberto não vazio inteiramente contido em ". Vamos pensar se isso é possível.
Para que exista um intervalo aberto dentro de , precisaríamos que, em algum trecho entre dois números, todos os números desse intervalo sejam formados apenas pelos dígitos 0, 2, 3, 4, 6, 7 e 9. Mas isso não acontece porque:
  1. Sempre que você tenta aumentar ou diminuir um número dentro de , você eventualmente precisa usar um dígito que não está permitido (como 1, 5 ou 8) para alcançar outros números próximos.
  2. Isso faz com que tenha “lacunas” onde não existem números, o que impede a existência de um intervalo aberto completamente dentro de .

Passo 4

Além disso, o conjunto é parecido com o Conjunto de Cantor, que também não contém intervalos abertos e tem medida zero. Ou seja, é um conjunto “espalhado” sem segmentos contínuos onde todos os números pertençam a ele.

Resposta

A afirmação (d) Não existe um intervalo aberto não vazio inteiramente contido em é falsa.

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