Seja
uma sequência convergente de números reais tal que para todo
Seja
o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(b) Se
, então existe
tal que
para todo
.
(b) Se
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais
que converge para um limite
. A sequência é definida pela relação de recorrência:
A questão nos pede para analisar uma afirmação específica sobre o limite
, que é:
(b) Se
, então existe
tal que
para todo
.
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências convergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente pode ser o limite da sequência. Para isso, substituímos
e
por
na relação de recorrência:
Vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de
.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Portanto, os possíveis limites são
ou
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação (b): “Se
, então existe
tal que
para todo
.”
Isso implica que, a partir de algum ponto na sequência, todos os termos seguintes seriam exatamente iguais a
.
Vamos verificar se, assumindo
, a relação se mantém:
Isso mostra que se um termo for
, o próximo também será
. Portanto, uma vez que a sequência atinge
, ela permanecerá constantemente em
.
Passo 4
No entanto, para a afirmação ser falsa, precisamos verificar se é realmente necessário que a sequência atinja
em algum momento para que
.
Considerando que
converge para
, mas nunca exatamente atinge
, os termos da sequência se aproximariam cada vez mais de
, mas sem necessariamente igualar-se a
.
Isso significa que a afirmação de que "existe
tal que
para todo
" não é necessariamente verdadeira.
Resposta
A afirmação (b) é falsa.