Seja x0, x1, x2, ... uma sequência convergente de números reais tal que para todo n
x_{n+1} = x_{n}^2 / 2 + x_{n} - 1 / 2
Seja L o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(b) Se L = -1, então existe n0 tal que x_n = -1 para todo n ≥ n0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais que converge para um limite . A sequência é definida pela relação de recorrência:
A questão nos pede para analisar uma afirmação específica sobre o limite , que é:
(b) Se , então existe tal que para todo .
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências convergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente pode ser o limite da sequência. Para isso, substituímos e por na relação de recorrência:
Vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de .
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:
Portanto, os possíveis limites são ou .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação (b): “Se , então existe tal que para todo .”
Isso implica que, a partir de algum ponto na sequência, todos os termos seguintes seriam exatamente iguais a .
Vamos verificar se, assumindo , a relação se mantém:
Isso mostra que se um termo for , o próximo também será . Portanto, uma vez que a sequência atinge , ela permanecerá constantemente em .

Passo 4

No entanto, para a afirmação ser falsa, precisamos verificar se é realmente necessário que a sequência atinja em algum momento para que .
Considerando que converge para , mas nunca exatamente atinge , os termos da sequência se aproximariam cada vez mais de , mas sem necessariamente igualar-se a .
Isso significa que a afirmação de que "existe tal que para todo " não é necessariamente verdadeira.

Resposta

A afirmação (b) é falsa.

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