Mostre que, se , então para qualquer número real .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se , então para qualquer número real . Isso envolve conceitos de números complexos, módulos e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o módulo de uma potência de um número complexo e como as propriedades dos logaritmos e exponenciais se aplicam nessa situação.
Passo 2
Primeiro, lembra que um número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo de e é o argumento de . Quando elevamos a uma potência , usamos a fórmula de De Moivre:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo é , mas no caso da forma polar, fica mais fácil:
Como o módulo de é 1 (porque está sobre o círculo unitário no plano complexo), temos:
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com a expressão . Sabemos que pode ser reescrito usando a definição de logaritmo natural:
Isso porque para , então elevando ambos os lados à potência , temos .
Passo 5
Juntando tudo que vimos:
Portanto, mostramos que para qualquer número real , desde que .