Considere o conjunto de vetores , onde
Estenda para formar uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço e pede para a gente estender esse conjunto para formar uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, onde uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para resolver, vamos precisar verificar a independência linear dos vetores dados e então encontrar mais vetores que, juntos com e , formem uma base completa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever um deles como múltiplo do outro. Olhando para os vetores:
Se multiplicarmos por 2, temos , que não é igual a . Então, eles são independentes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar mais dois vetores para completar a base de . A ideia é escolher vetores que não possam ser escritos como combinação linear dos vetores já existentes. Vamos tentar adicionar e .

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses quatro vetores como colunas e verificar se o determinante é diferente de zero (o que indicaria que são linearmente independentes):
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele não é zero, o que confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Resposta

A base de estendida é , onde:

Exercícios relacionados

Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).
Considere os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares. Para cada sistema, encontre a dimensão e uma base para o espaço solução .
(a)
(b)
©
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Considere como o subespaço das matrizes simétricas em . Mostre que , encontrando uma base para .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.