Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço e pede para a gente estender esse conjunto para formar uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, onde uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para resolver, vamos precisar verificar a independência linear dos vetores dados e então encontrar mais vetores que, juntos com e , formem uma base completa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever um deles como múltiplo do outro. Olhando para os vetores:
Se multiplicarmos por 2, temos , que não é igual a . Então, eles são independentes.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar mais dois vetores para completar a base de . A ideia é escolher vetores que não possam ser escritos como combinação linear dos vetores já existentes. Vamos tentar adicionar e .
Passo 4
Vamos montar uma matriz com esses quatro vetores como colunas e verificar se o determinante é diferente de zero (o que indicaria que são linearmente independentes):
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele não é zero, o que confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .