Considere o conjunto de vetores S=u1, u2, onde
u1=(1,1,1,1), u2=(2,2,3,4)
Estenda S para formar uma base de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço e pede para a gente estender esse conjunto para formar uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, onde uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para resolver, vamos precisar verificar a independência linear dos vetores dados e então encontrar mais vetores que, juntos com e , formem uma base completa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 2, 3, 4) e são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever um deles como múltiplo do outro. Olhando para os vetores:
Se multiplicarmos por 2, temos , que não é igual a . Então, eles são independentes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar mais dois vetores para completar a base de . A ideia é escolher vetores que não possam ser escritos como combinação linear dos vetores já existentes. Vamos tentar adicionar e .

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses quatro vetores como colunas e verificar se o determinante é diferente de zero (o que indicaria que são linearmente independentes):
1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0 1 & 4 & 0 & 1
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele não é zero, o que confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Resposta

A base de u1 = (1,1,1,1), u2 = (2,2,3,4), u3 = (0,0,1,0), u4 = (0,0,0,1) estendida é , onde:

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