Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano
:
Precisamos descobrir as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas
. Além disso, se existir, também vamos encontrar as equações das assíntotas e os pontos do eixo conjugado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas, como completar o quadrado e identificar o tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Isso nos ajudará a colocar a equação na forma padrão da cônica.
Passo 3
Completemos o quadrado para os termos de
:
O termo que completa o quadrado é
, então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
O termo que completa o quadrado é
, então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos as expressões completas na equação original:
Somamos os termos constantes:
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 6
Dividimos todos os termos por 225 para obter a forma padrão da cônica:
Essa é a equação de uma elipse com centro em
.
Passo 7
Identificamos os parâmetros da elipse:
- Centro
-
(eixo maior na direção ) -
(eixo menor na direção )
Passo 8
Calculamos as coordenadas dos vértices. Como o maior eixo está no
, os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Passo 9
Calculamos os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão a uma distância
ao longo do eixo maior (
):
- Foco 1:
- Foco 2:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos são
e
. Como trata-se de uma elipse, não existem assíntotas nem pontos no eixo conjugado.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial das matrizes
sobre
. Considere
como o subespaço das matrizes simétricas em
. Mostre que
, encontrando uma base para
.
Considere o conjunto de vetores
, onde
Estenda
para formar uma base de
.
Considere a matriz
no espaço vetorial real
das matrizes
. Encontre o vetor coordenada de
em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
(a) A base
(b) A base canônica
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.