Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano :
Precisamos descobrir as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas . Além disso, se existir, também vamos encontrar as equações das assíntotas e os pontos do eixo conjugado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas, como completar o quadrado e identificar o tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Isso nos ajudará a colocar a equação na forma padrão da cônica.

Passo 3

Completemos o quadrado para os termos de :
O termo que completa o quadrado é , então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de :
O termo que completa o quadrado é , então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:

Passo 5

Substituímos as expressões completas na equação original:
Somamos os termos constantes:
Isolamos os termos quadráticos:

Passo 6

Dividimos todos os termos por 225 para obter a forma padrão da cônica:
Essa é a equação de uma elipse com centro em .

Passo 7

Identificamos os parâmetros da elipse:
  • Centro
  • (eixo maior na direção )
  • (eixo menor na direção )

Passo 8

Calculamos as coordenadas dos vértices. Como o maior eixo está no , os vértices ficam a uma distância do centro ao longo do eixo :
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:

Passo 9

Calculamos os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão a uma distância ao longo do eixo maior ( ):
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos são e . Como trata-se de uma elipse, não existem assíntotas nem pontos no eixo conjugado.

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