Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
9 x^2-36 x-89+25 y^2+100 y=0
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano xy:
9x^2 - 36x - 89 + 25y^2 + 100y = 0
Precisamos descobrir as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas xy. Além disso, se existir, também vamos encontrar as equações das assíntotas e os pontos do eixo conjugado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas, como completar o quadrado e identificar o tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x e de y:
9x^2 - 36x + 25y^2 + 100y = 89
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y. Isso nos ajudará a colocar a equação na forma padrão da cônica.

Passo 3

Completemos o quadrado para os termos de x:
9x^2 - 36x = 9(x^2 - 4x)
O termo que completa o quadrado é (42)^2 = 4, então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
9(x^2 - 4x + 4 - 4) = 9((x - 2)^2 - 4) = 9(x - 2)^2 - 36

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de y:
25y^2 + 100y = 25(y^2 + 4y)
O termo que completa o quadrado é (42)^2 = 4, então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
25(y^2 + 4y + 4 - 4) = 25((y + 2)^2 - 4) = 25(y + 2)^2 - 100

Passo 5

Substituímos as expressões completas na equação original:
9(x - 2)^2 - 36 + 25(y + 2)^2 - 100 = 89
Somamos os termos constantes:
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 - 136 = 89
Isolamos os termos quadráticos:
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 225

Passo 6

Dividimos todos os termos por 225 para obter a forma padrão da cônica:
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1
Essa é a equação de uma elipse com centro em (2, -2).

Passo 7

Identificamos os parâmetros da elipse:
  • Centro (h, k) = (2, -2)
  • a^2 = 25 Rightarrow a = 5 (eixo maior na direção x)
  • b^2 = 9 Rightarrow b = 3 (eixo menor na direção y)

Passo 8

Calculamos as coordenadas dos vértices. Como o maior eixo está no x, os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo x:
  • Vértice 1: (2 + 5, -2) = (7, -2)
  • Vértice 2: (2 - 5, -2) = (-3, -2)

Passo 9

Calculamos os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 9 = raiz16 = 4
Então, os focos estão a uma distância c ao longo do eixo maior ( x):
  • Foco 1: (2 + 4, -2) = (6, -2)
  • Foco 2: (2 - 4, -2) = (-2, -2)

Resposta

Os vértices da elipse são (7, -2) e (-3, -2). Os focos são (6, -2) e (-2, -2). Como trata-se de uma elipse, não existem assíntotas nem pontos no eixo conjugado.

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