Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por no sistema de coordenadas original. A gente vai precisar entender como funciona a translação de sistemas de coordenadas, ou seja, como mudar o ponto de origem. Nesse caso, a origem está sendo movida para o ponto . Usaremos as coordenadas no sistema transladado para escrever a equação da reta nessa nova posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma translação de sistema de coordenadas. Basicamente, é uma mudança no ponto de origem. Se a origem original é e estamos movendo para , queremos expressar as coordenadas no sistema original em termos de no sistema transladado.
A relação entre as coordenadas é dada por:
Onde é o vetor de translação. No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da reta original usando e :
Simplificando a equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Resposta

A equação da reta no sistema transladado é .

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Considere os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares. Para cada sistema, encontre a dimensão e uma base para o espaço solução .
(a)
(b)
©
Sejam e transformações lineares.
b) Prove que, se é sobrejetora, então também é sobrejetora.
Considere o conjunto de vetores , onde
Estenda para formar uma base de .
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Considere como o subespaço das matrizes simétricas em . Mostre que , encontrando uma base para .