Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto O^prime=(-1,2).
(a) Escreva a equação da reta y=x+3 no sistema transladado. (use coordenadas (u, v) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por no sistema de coordenadas original. A gente vai precisar entender como funciona a translação de sistemas de coordenadas, ou seja, como mudar o ponto de origem. Nesse caso, a origem está sendo movida para o ponto . Usaremos as coordenadas no sistema transladado para escrever a equação da reta nessa nova posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma translação de sistema de coordenadas. Basicamente, é uma mudança no ponto de origem. Se a origem original é x = u + h e estamos movendo para y = v + k , queremos expressar as coordenadas x = u - 1 no sistema original em termos de y = v + 2 no sistema transladado.
A relação entre as coordenadas é dada por:
Onde é o vetor de translação. No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da reta original v + 2 = (u - 1) + 3 usando v + 2 = u + 2 e v = u :
Simplificando a equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Resposta

A equação da reta no sistema transladado é .

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