Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Considere como o subespaço das matrizes simétricas em . Mostre que , encontrando uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e subespaços, especificamente o espaço das matrizes sobre os números reais () e as matrizes simétricas dentro desse espaço. Nosso objetivo é mostrar que a dimensão do subespaço das matrizes simétricas, que vamos chamar de , é igual a 6, e para isso vamos encontrar uma base para . Para resolver, vamos precisar entender conceitos como espaço vetorial, subespaço, dimensão e base, além das propriedades das matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Para uma matriz , isso significa que os elementos acima da diagonal principal são iguais aos elementos correspondentes abaixo da diagonal. Por exemplo, o elemento na posição é igual ao elemento na posição , e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos pensar no espaço vetorial das matrizes . Uma matriz tem 9 entradas, então tem dimensão 9. Nosso subespaço consiste nas matrizes simétricas dentro de . Como é um subespaço, sabemos que sua dimensão será menor ou igual à dimensão de .
Passo 4
Para encontrar a dimensão de , vamos contar quantos elementos independentes existem em uma matriz simétrica . Como a matriz é simétrica, os elementos acima da diagonal são determinados pelos elementos abaixo da diagonal. Portanto, só precisamos escolher os elementos na diagonal e os elementos acima (ou abaixo) dela.
Na diagonal, temos 3 elementos: , e . Acima da diagonal, temos 3 elementos independentes: , e . Os elementos abaixo da diagonal são iguais aos correspondentes acima, então não adicionam novas informações.
Passo 5
Somando, temos 3 elementos na diagonal e 3 elementos acima da diagonal, totalizando 6 elementos independentes. Isso significa que a dimensão de é 6, já que precisamos de 6 vetores (matrizes) para formar uma base.
Passo 6
Agora, vamos construir uma base para . Uma base consiste em matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Podemos escolher matrizes que têm 1 em uma das posições independentes e 0 nas demais. Assim, teremos 6 matrizes na base:
Essas matrizes são simétricas, são linearmente independentes e qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Resposta
A dimensão de é 6, e uma base para é formada pelas seis matrizes a definidas acima.