Considere o conjunto A=Z times Z e a relação binária R definida em A por
R=((x1, x2),(y1, y2)) in A times A mid x1+y1 equiv5 x2+y2
Indique um par (x, y) in A times A tal que (x, y) notin R.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que é o conjunto de todos os pares de números inteiros. A relação binária $ R $ está definida de tal forma que relaciona dois pares A = Z times Z em $ A \times A $ se a soma das primeiras componentes de cada par for equivalente à soma das segundas componentes, tudo isso considerando a congruência módulo 5. Para resolver, precisamos encontrar um par R que não satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa congruência módulo 5. Dizemos que dois números são congruentes módulo 5 se a diferença entre eles é múltiplo de 5. Ou seja, $ a \equiv_5 b $ se $ a - b $ é divisível por 5.

Passo 3

A relação $ R $ relaciona R em $ A \times A $ se $ x_1 + y_1 \equiv_5 x_2 + y_2 $. Para encontrar um par que não está em $ R $, precisamos que $ x_1 + y_1 $ não seja congruente a $ x_2 + y_2 $ módulo 5.

Passo 4

Vamos escolher valores simples para facilitar a verificação. Por exemplo, vamos considerar:
  • $ x = (0, 0) $
  • $ y = (0, 1) $

Passo 5

Agora, calculamos as somas:
  • $ x_1 + y_1 = 0 + 0 = 0 $
  • $ x_2 + y_2 = 0 + 1 = 1 $

Passo 6

Verificamos a congruência:
  • $ 0 \equiv_5 1 $ ?
Para que isso fosse verdade, $ 0 - 1 = -1 $ deveria ser múltiplo de 5, o que não é o caso.

Resposta

Um exemplo de par que não pertence a $ R $ é $ (x, y) = ((0, 0), (0, 1)) $.

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