Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Indique um par
tal que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que é o conjunto de todos os pares de números inteiros. A relação binária $ R $ está definida de tal forma que relaciona dois pares
em $ A \times A $ se a soma das primeiras componentes de cada par for equivalente à soma das segundas componentes, tudo isso considerando a congruência módulo 5. Para resolver, precisamos encontrar um par
que não satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa congruência módulo 5. Dizemos que dois números são congruentes módulo 5 se a diferença entre eles é múltiplo de 5. Ou seja, $ a \equiv_5 b $ se $ a - b $ é divisível por 5.
Passo 3
A relação $ R $ relaciona
em $ A \times A $ se $ x_1 + y_1 \equiv_5 x_2 + y_2 $. Para encontrar um par que não está em $ R $, precisamos que $ x_1 + y_1 $ não seja congruente a $ x_2 + y_2 $ módulo 5.
Passo 4
Vamos escolher valores simples para facilitar a verificação. Por exemplo, vamos considerar:
- $ x = (0, 0) $
- $ y = (0, 1) $
Passo 5
Agora, calculamos as somas:
- $ x_1 + y_1 = 0 + 0 = 0 $
- $ x_2 + y_2 = 0 + 1 = 1 $
Passo 6
Verificamos a congruência:
- $ 0 \equiv_5 1 $ ?
Para que isso fosse verdade, $ 0 - 1 = -1 $ deveria ser múltiplo de 5, o que não é o caso.
Resposta
Um exemplo de par que não pertence a $ R $ é $ (x, y) = ((0, 0), (0, 1)) $.