Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Justifique se a relação
é ou não anti-simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ e uma relação binária $ R $ definida nesse conjunto. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa relação $ R $ é anti-simétrica. Vamos precisar entender o que é uma relação anti-simétrica e como testar isso usando a definição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma relação ser anti-simétrica. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é anti-simétrica se, sempre que $ (a, b) \in R $ e $ (b, a) \in R $, então necessariamente $ a = b $. Ou seja, se dois elementos estão relacionados de ambas as formas, eles precisam ser o mesmo elemento.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação $ R $ que está definida como:
Isso significa que dois pares ordenados $ (x_1, x_2) $ e $ (y_1, y_2) $ estão relacionados se a soma dos primeiros componentes é congruente a 5 da soma dos segundos componentes.
Passo 4
Para verificar se $ R $ é anti-simétrica, vamos supor que $ \left( (x_1, x_2), (y_1, y_2) \right) \in R $ e $ \left( (y_1, y_2), (x_1, x_2) \right) \in R $. De acordo com a definição de $ R $, isso significa que:
e
Perceba que as duas expressões são, na verdade, a mesma coisa porque a adição é comutativa.
Passo 5
Então, temos:
Isso não nos dá nenhuma informação adicional que force $ (x_1, x_2) = (y_1, y_2) $. Ou seja, mesmo que $ (x_1, x_2) $ e $ (y_1, y_2) $ estejam relacionados de ambas as formas, eles não precisam ser iguais.
Passo 6
Vamos ver um exemplo para ilustrar isso. Suponha que $ (1, 2) $ e $ (4, 1) $ estejam em $ R $. Calculando:
então esse exemplo não funcionou. Mas vamos tentar $ (2, 3) $ e $ (3, 2) $:
e também
Aqui, $ (2, 3) \neq (3, 2) $, mas ambas as relações são verdadeiras, o que mostra que $ R $ não é anti-simétrica.
Resposta
A relação $ R $ não é anti-simétrica.