Considere a relação
definida em
. O que pode concluir acerca de
ser ou não transitiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma relação $ R = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,4), (3,2), (3,4)} $ definida no conjunto $ A = {1,2,3,4} $. A pergunta é: essa relação $ R $ é transitiva ou não? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação transitiva e analisar os pares da relação $ R $ para ver se ela satisfaz essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma relação ser transitiva. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é chamada de transitiva se, sempre que um elemento $ a $ está relacionado com $ b $ e $ b $ está relacionado com $ c $, então $ a $ também está relacionado com $ c $. Em outras palavras, se $ (a, b) \in R $ e $ (b, c) \in R $, então $ (a, c) $ também deve estar em $ R $.
Passo 3
Agora, vamos analisar os pares da relação $ R $:
- $ (1,1) $
- $ (1,2) $
- $ (1,4) $
- $ (2,4) $
- $ (3,2) $
- $ (3,4) $
Vamos verificar se para cada par $ (a, b) $ e $ (b, c) $ existe o par $ (a, c) $.
Passo 4
Vamos começar com o par $ (1,2) $. Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 2 $. Agora, precisamos ver se existe algum par onde $ b = 2 $ está relacionado com algum $ c $. Olhando a relação $ R $, temos $ (2,4) $, ou seja, $ b = 2 $ está relacionado com $ c = 4 $.
Segundo a definição de transitividade, se $ (1,2) $ e $ (2,4) $ estão em $ R $, então $ (1,4) $ também deve estar em $ R $. Verificando, vemos que $ (1,4) $ está em $ R $. Isso está ok.
Passo 5
Agora, vamos verificar o par $ (3,2) $. Aqui, $ a = 3 $ e $ b = 2 $. Precisamos ver se $ b = 2 $ está relacionado com algum $ c $. Novamente, temos $ (2,4) $.
Segundo a transitividade, se $ (3,2) $ e $ (2,4) $ estão em $ R $, então $ (3,4) $ também deve estar em $ R $. Verificando, vemos que $ (3,4) $ está em $ R $. Isso também está correto.
Passo 6
Vamos verificar outros possíveis pares. Por exemplo, o par $ (1,1) $. Se $ a = 1 $ e $ b = 1 $, precisamos ver se $ b = 1 $ está relacionado com algum $ c $. Temos $ (1,1) $, $ (1,2) $ e $ (1,4) $.
- Para $ (1,1) $ e $ (1,1) $, precisamos que $ (1,1) $ esteja em $ R $, o que já está.
- Para $ (1,1) $ e $ (1,2) $, precisamos que $ (1,2) $ esteja em $ R $, o que está.
- Para $ (1,1) $ e $ (1,4) $, precisamos que $ (1,4) $ esteja em $ R $, o que também está.
Tudo certo aqui.
Passo 7
Vamos verificar o par $ (3,4) $. Aqui, $ a = 3 $ e $ b = 4 $. Precisamos ver se $ b = 4 $ está relacionado com algum $ c $. Observando a relação $ R $, não há nenhum par onde o primeiro elemento seja 4. Ou seja, não há nenhum $ c $ tal que $ (4, c) $ esteja em $ R $.
Como não há nenhum par com $ b = 4 $, não precisamos fazer nenhuma verificação adicional para esse caso.
Passo 8
Finalmente, não há mais pares a serem verificados que possam influenciar na transitividade da relação $ R $. Todos os casos onde $ (a, b) $ e $ (b, c) $ estão em $ R $ resultam em $ (a, c) $ também estando em $ R $.
Resposta
A relação $ R $ é transitiva.