Indique uma relação binária
definida no conjunto
que seja uma relação de equivalência com duas classes de equivalência. Indique ainda a partição de
induzida pela relação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir uma relação binária $ R $ no conjunto $ A = {\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}} $ que seja uma relação de equivalência com duas classes de equivalência. Além disso, temos que indicar a partição de $ A $ que essa relação $ R $ cria. Vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como ela divide o conjunto em classes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é chamada de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, $ \forall x \in A, (x, x) \in R $.
- Simétrica: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro. Ou seja, $ \forall x, y \in A, $ se $ (x, y) \in R $, então $ (y, x) \in R $.
- Transitiva: Se um elemento está relacionado com um segundo, que por sua vez está relacionado com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro. Ou seja, $ \forall x, y, z \in A, $ se $ (x, y) \in R $ e $ (y, z) \in R $, então $ (x, z) \in R $.
Essas propriedades garantem que a relação $ R $ divida o conjunto $ A $ em grupos onde os elementos são equivalentes entre si.
Passo 3
Agora, precisamos criar uma relação $ R $ que tenha duas classes de equivalência. Isso significa que vamos dividir o conjunto $ A $ em duas partes, onde os elementos de cada parte estão relacionados entre si.
Vamos escolher, por exemplo, dividir $ A $ em $ {\mathrm{a}, \mathrm{b}} $ e $ {\mathrm{c}, \mathrm{d}} $. Assim, teremos duas classes de equivalência:
- Primeira classe: $ {\mathrm{a}, \mathrm{b}} $
- Segunda classe: $ {\mathrm{c}, \mathrm{d}} $
Passo 4
Com essa divisão, podemos definir a relação $ R $ incluindo todos os pares de elementos que estão na mesma classe de equivalência. Além disso, devemos incluir os pares onde os elementos são iguais, para garantir a reflexividade.
Então, a relação $ R $ será:
Vamos verificar se $ R $ satisfaz as propriedades de equivalência:
- Reflexiva: Todos os elementos estão relacionados consigo mesmos.
- Simétrica: Se $ (\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in R $, então $ (\mathrm{b}, \mathrm{a}) \in R $, e assim por diante.
- Transitiva: Se $ (\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in R $ e $ (\mathrm{b}, \mathrm{a}) \in R $, então $ (\mathrm{a}, \mathrm{a}) \in R $, e o mesmo vale para os outros elementos.
Portanto, $ R $ é uma relação de equivalência com duas classes de equivalência.
Passo 5
Finalmente, a partição de $ A $ induzida pela relação $ R $ são as classes de equivalência que criamos. Ou seja, o conjunto $ A $ é dividido da seguinte forma:
Resposta
A relação binária $ R $ definida por
é uma relação de equivalência com duas classes de equivalência. A partição de $ A $ induzida por $ R $ é