Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Justifique se a relação
é ou não simétrica.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ e uma relação binária $ R $ definida em $ A $ por
O conteúdo envolvido aqui é a teoria das relações binárias, especificamente a propriedade de simetria. Para resolver este exercício, vamos precisar entender o que significa uma relação ser simétrica e aplicar esse conceito à relação $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação simétrica. Dizemos que uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é simétrica se, sempre que um elemento $ a $ está relacionado com $ b $ por $ R $, então $ b $ também está relacionado com $ a $ por $ R $. Em termos de notação, se $ (a, b) \in R $, então $ (b, a) \in R $.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos verificar se para quaisquer pares $ \left( \left(x_{1}, x_{2}\right), \left(y_{1}, y_{2}\right) \right) $ que pertencem a $ R $, o par $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) $ também pertence a $ R $.
Passo 4
A relação $ R $ é definida por:
Isso significa que a soma de $ x_{1} $ e $ y_{1} $ é congruente a $ x_{2} + y_{2} $ módulo 5.
Passo 5
Agora, consideremos o par inverso $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) $. Precisamos verificar se:
Passo 6
Reescrevendo a expressão, temos:
Como a adição é comutativa, podemos trocar a ordem dos termos sem alterar o resultado:
Passo 7
Portanto, a expressão $ y_{1} + x_{1} \equiv_{5} y_{2} + x_{2} $ é equivalente a $ x_{1} + y_{1} \equiv_{5} x_{2} + y_{2} $.
Passo 8
Assim, se $ \left( \left(x_{1}, x_{2}\right), \left(y_{1}, y_{2}\right) \right) \in R $, então $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) \in R $ também. Isso confirma que a relação $ R $ satisfaz a condição de simetria.
Resposta
A relação $ R $ é simétrica.