Considere o conjunto A=Z times Z e a relação binária R definida em A por
R=((x1, x2),(y1, y2)) in A times A mid x1+y1 equiv5 x2+y2
Justifique se a relação R é ou não simétrica.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ e uma relação binária $ R $ definida em $ A $ por
A = Z times Z
O conteúdo envolvido aqui é a teoria das relações binárias, especificamente a propriedade de simetria. Para resolver este exercício, vamos precisar entender o que significa uma relação ser simétrica e aplicar esse conceito à relação $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação simétrica. Dizemos que uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é simétrica se, sempre que um elemento $ a $ está relacionado com $ b $ por $ R $, então $ b $ também está relacionado com $ a $ por $ R $. Em termos de notação, se $ (a, b) \in R $, então $ (b, a) \in R $.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, precisamos verificar se para quaisquer pares $ \left( \left(x_{1}, x_{2}\right), \left(y_{1}, y_{2}\right) \right) $ que pertencem a $ R $, o par $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) $ também pertence a $ R $.

Passo 4

A relação $ R $ é definida por:
R
Isso significa que a soma de $ x_{1} $ e $ y_{1} $ é congruente a $ x_{2} + y_{2} $ módulo 5.

Passo 5

Agora, consideremos o par inverso $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) $. Precisamos verificar se:
( (y1, y2), (x1, x2) )

Passo 6

Reescrevendo a expressão, temos:
x1 + y1 equiv5 x2 + y2
Como a adição é comutativa, podemos trocar a ordem dos termos sem alterar o resultado:
y1 + x1 = x1 + y1
y2 + x2 = x2 + y2

Passo 7

Portanto, a expressão $ y_{1} + x_{1} \equiv_{5} y_{2} + x_{2} $ é equivalente a $ x_{1} + y_{1} \equiv_{5} x_{2} + y_{2} $.

Passo 8

Assim, se $ \left( \left(x_{1}, x_{2}\right), \left(y_{1}, y_{2}\right) \right) \in R $, então $ \left( \left(y_{1}, y_{2}\right), \left(x_{1}, x_{2}\right) \right) \in R $ também. Isso confirma que a relação $ R $ satisfaz a condição de simetria.

Resposta

A relação $ R $ é simétrica.

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