Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Justifique se a relação
é ou não transitiva.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que significa que $ A $ contém todos os pares ordenados de números inteiros. A relação binária $ R $ é definida da seguinte forma:
Isso quer dizer que dois pares ordenados $ (x_1, x_2) $ e $ (y_1, y_2) $ estão relacionados por $ R $ se a soma de suas primeiras componentes é congruente à soma de suas segundas componentes módulo 5. Nosso objetivo é verificar se essa relação $ R $ é transitiva.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma relação ser transitiva. Uma relação $ R $ é transitiva se, sempre que um elemento $ a $ está relacionado com $ b $ ($ aRb $) e $ b $ está relacionado com $ c $ ($ bRc $), então $ a $ também está relacionado com $ c $ ($ aRc $).
No contexto da nossa relação $ R $, isso significa:
- Se $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $, então $ x_1 + y_1 \equiv_5 x_2 + y_2 $.
- E se $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $, então $ y_1 + z_1 \equiv_5 y_2 + z_2 $.
- Precisamos verificar se, a partir dessas duas relações, necessariamente segue que $ (x_1, x_2) R (z_1, z_2) $, ou seja, $ x_1 + z_1 \equiv_5 x_2 + z_2 $.
Passo 3
Vamos assumir que $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $ e $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $ são verdadeiros. Isso nos dá as seguintes equivalências:
Nosso objetivo é somar essas duas congruências para ver se podemos chegar a $ x_1 + z_1 \equiv_5 x_2 + z_2 $.
Passo 4
Somando as duas equações:
Simplificando:
Agora, percebemos que os termos $ 2y_1 $ e $ 2y_2 $ aparecem de ambos os lados da congruência.
Passo 5
Subtraindo $ 2y_1 \equiv_5 2y_2 $ de ambos os lados, temos:
Isso mostra que $ (x_1, x_2) R (z_1, z_2) $ é verdadeiro sempre que $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $ e $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $ forem verdadeiros.
Resposta
Sim, a relação $ R $ é transitiva.