Considere o conjunto A=Z times Z e a relação binária R definida em A por
R=((x1, x2),(y1, y2)) in A times A mid x1+y1 equiv5 x2+y2
Justifique se a relação R é ou não transitiva.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que significa que $ A $ contém todos os pares ordenados de números inteiros. A relação binária $ R $ é definida da seguinte forma:
A = Z times Z
Isso quer dizer que dois pares ordenados $ (x_1, x_2) $ e $ (y_1, y_2) $ estão relacionados por $ R $ se a soma de suas primeiras componentes é congruente à soma de suas segundas componentes módulo 5. Nosso objetivo é verificar se essa relação $ R $ é transitiva.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma relação ser transitiva. Uma relação $ R $ é transitiva se, sempre que um elemento $ a $ está relacionado com $ b $ ($ aRb $) e $ b $ está relacionado com $ c $ ($ bRc $), então $ a $ também está relacionado com $ c $ ($ aRc $).
No contexto da nossa relação $ R $, isso significa:
  1. Se $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $, então $ x_1 + y_1 \equiv_5 x_2 + y_2 $.
  2. E se $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $, então $ y_1 + z_1 \equiv_5 y_2 + z_2 $.
  3. Precisamos verificar se, a partir dessas duas relações, necessariamente segue que $ (x_1, x_2) R (z_1, z_2) $, ou seja, $ x_1 + z_1 \equiv_5 x_2 + z_2 $.

Passo 3

Vamos assumir que $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $ e $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $ são verdadeiros. Isso nos dá as seguintes equivalências:
(x1, x2) R (y1, y2)
(y1, y2) R (z1, z2)
Nosso objetivo é somar essas duas congruências para ver se podemos chegar a $ x_1 + z_1 \equiv_5 x_2 + z_2 $.

Passo 4

Somando as duas equações:
(x1 + y1) + (y1 + z1) equiv5 (x2 + y2) + (y2 + z2)
Simplificando:
x1 + 2y1 + z1 equiv5 x2 + 2y2 + z2
Agora, percebemos que os termos $ 2y_1 $ e $ 2y_2 $ aparecem de ambos os lados da congruência.

Passo 5

Subtraindo $ 2y_1 \equiv_5 2y_2 $ de ambos os lados, temos:
2y1 equiv5 2y2
Isso mostra que $ (x_1, x_2) R (z_1, z_2) $ é verdadeiro sempre que $ (x_1, x_2) R (y_1, y_2) $ e $ (y_1, y_2) R (z_1, z_2) $ forem verdadeiros.

Resposta

Sim, a relação $ R $ é transitiva.

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