Um produtor de café em pó adquiriu uma nova máquina de empacotamento automático. Ele deseja garantir que a quantidade média de café nos pacotes não seja significativamente diferente de 250 g. Sabe-se do certificado de inspeção da máquina que a variação das quantidades dispensadas tem uma distribuição normal, com desvio-padrão igual a 7 g, e a média pode ser regulada para diferentes valores. O produtor procedeu então da seguinte maneira: regulou a máquina, produziu uma amostra de 49 pacotes e realizou um teste de hipóteses para avaliar se a média verdadeira diferiria (ou não) significativamente do valor de 250 g. São dados deste teste:
valor
. Com base nesses dados, responda:
(b) Qual a probabilidade de se ter tomado uma decisão errada?
(b) Qual a probabilidade de se ter tomado uma decisão errada?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um produtor de café que comprou uma máquina para empacotar automaticamente. Ele quer ter certeza de que, em média, cada pacote contém 250 gramas de café. Para isso, ele fez um teste de hipóteses.
Conteúdo da matéria: Teste de hipóteses sobre a média de uma população.
O que vamos precisar:
- Entender o que são hipótese nula (
) e alternativa ( ). - Saber o que significa o nível de significância (
). - Compreender o que é o valor-p (
) e como ele é usado para tomar decisões no teste de hipóteses. - Conhecer os tipos de erros em testes de hipóteses (Erro Tipo I e Erro Tipo II).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada parte do teste significa:
- Hipótese nula (
): A média verdadeira é 250 g, ou seja, $ \mu = 250 $. - Hipótese alternativa (
): A média verdadeira é diferente de 250 g, $ \mu \neq 250 $. - Nível de significância (
): A probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar de cometer um Erro Tipo I, que é rejeitar $ H_0 $ quando ela é verdadeira. Aqui, $ \alpha = 0,05 $ ou 5%.
Passo 3
O produtor realizou o teste e obteve um valor-p ($ P $) de 0,004372. O valor-p nos ajuda a entender a evidência contra a hipótese nula. Se o valor-p for menor que
, rejeitamos $ H_0 $.
No caso:
- $ P = 0,004372 < \alpha = 0,05 $
Isso significa que há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Ou seja, a média verdadeira difere significativamente de 250 g.
Passo 4
Agora, a questão pergunta: Qual a probabilidade de se ter tomado uma decisão errada?
Isso se refere à chance de cometer um Erro Tipo I, que ocorre quando rejeitamos $ H_0 $ mesmo que ela seja verdadeira.
O Erro Tipo I está diretamente ligado ao nível de significância
. Isso porque
é justamente a probabilidade máxima que aceitamos de cometer esse erro.
Portanto:
- A probabilidade de tomar uma decisão errada (Erro Tipo I) é igual a
.
Resposta
A probabilidade de ter tomado uma decisão errada é de 5%.