Corpos de prova de concreto foram obtidos a partir de duas diferentes misturas: uma comum, outra de alta resistência. A tensão máxima (em MPa) foi determinada para cada amostra, resultando nos dados da Tabela 1. Realize um teste de hipóteses para avaliar se a mistura de alta resistência realmente tem resistência média significativamente superior à comum. Utilize nível de significância de
. Considere amostras independentes.
Alta resistência
50,9
55,1
56,3
50,3
58,5
58,1
53,2
50,8
52,1
52,6
Comum
42,8
55,6
49,0
48,7
44,1
55,4
50,1
45,7
51,4
43,1
Tabela 1: Dados de tensão máxima (em MPa).
(b) Defina os critérios de rejeição da hipótese nula;
Alta resistência | 50,9 | 55,1 | 56,3 | 50,3 | 58,5 | 58,1 | 53,2 | 50,8 | 52,1 | 52,6 |
Comum | 42,8 | 55,6 | 49,0 | 48,7 | 44,1 | 55,4 | 50,1 | 45,7 | 51,4 | 43,1 |
(b) Defina os critérios de rejeição da hipótese nula;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve comparar a resistência média de duas misturas de concreto: uma comum e outra de alta resistência. O conteúdo que vamos usar aqui é o teste de hipóteses para médias de duas amostras independentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos como hipóteses nula e alternativa, nível de significância e distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) é a de que não há diferença na resistência média entre as duas misturas, ou seja, a mistura de alta resistência não é melhor. A hipótese alternativa (
) é que a mistura de alta resistência tem uma resistência média superior à comum.
Passo 3
Agora, vamos definir o nível de significância, que é a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar de cometer um erro do Tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira). Neste caso, o nível de significância é de
, ou seja,
.
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o teste estatístico apropriado. Como estamos comparando as médias de duas amostras independentes e provavelmente sem variâncias conhecidas, vamos usar o teste t de Student para duas amostras independentes.
Para isso, calculamos a estatística t com a fórmula:
Onde:
-
é a média amostral -
é a variância amostral -
é o tamanho da amostra
Depois, consultamos a tabela de distribuição t com os graus de liberdade apropriados para encontrar o valor crítico.
Passo 5
Finalmente, vamos definir os critérios de rejeição. Com um teste unilateral à direita (porque estamos verificando se uma média é maior que a outra), rejeitamos a hipótese nula (
) se a estatística t calculada for maior que o valor crítico t da tabela para
.
Resposta
Os critérios de rejeição da hipótese nula são: com nível de significância de
, rejeitamos
se a estatística t calculada for maior que o valor crítico obtido na tabela t para o teste unilateral. Isso indicará que a mistura de alta resistência tem uma resistência média significativamente superior à mistura comum.