Considere um contêiner esférico de raio interno r1=8 cm, raio externo r2=10 cm e condutividade térmica k=45 W / m K. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes T1=200^circ C e T2=80^circ C, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp: q=27100 W T(r)=r1 r2r(r2-r1)(T1-T2)+r2 T2-r1 T1r2-r1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um contêiner esférico com raio interno e raio externo . A condutividade térmica é . As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes, e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a teoria de condução de calor em esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas no estado estacionário, que nos diz como o calor se propaga sem acumular energia no sistema. A equação geral para a taxa de fluxo de calor q = -k cdot 4pi r^2 cdot dTdr em uma esfera é:
Aqui, representa a variação da temperatura com relação ao raio .

Passo 3

Como estamos no estado estacionário, a taxa de fluxo de calor dTdr = -q4pi k r^2 é constante em qualquer ponto da casca esférica. Vamos isolar a derivada da temperatura:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura .

Passo 4

Integrando a equação acima, temos:
integral dT = -q4pi k integral 1r^2 dr
A integral de T(r) = q4pi k ( 1r ) + C em relação a é , então:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar T1 = q4pi k r1 + C :
Para T2 = q4pi k r2 + C , T1 - T2 = q4pi k ( 1r1 - 1r2 ) :
q = 4pi k T1 - T21r1 - 1r2 = 4pi k (T1 - T2) r1 r2r2 - r1
Para , :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar a taxa de perda de calor q = 4pi times 45 , W/m·K times (200 - 80) times 0.08 times 0.100.10 - 0.08 :
r1 = 8 , cm = 0.08 , m
Convertendo os raios de cm para metros:
r2 = 10 , cm = 0.10 , m
q = 4pi times 45 times 120 times 0.08 times 0.100.02 = 4pi times 45 times 0.960.02 = 4pi times 45 times 48 = 4 times 3.1416 times 45 times 48 approx 27100 , W
Calculando:

Resposta

q = 27100 , W T(r) = r1 r2r (r2 - r1) (T1 - T2) + r2 T2 - r1 T1r2 - r1

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