Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes
e
, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um contêiner esférico com raio interno
e raio externo
. A condutividade térmica é
. As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes,
e
, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a teoria de condução de calor em esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas no estado estacionário, que nos diz como o calor se propaga sem acumular energia no sistema. A equação geral para a taxa de fluxo de calor
em uma esfera é:
Aqui,
representa a variação da temperatura com relação ao raio
.
Passo 3
Como estamos no estado estacionário, a taxa de fluxo de calor
é constante em qualquer ponto da casca esférica. Vamos isolar a derivada da temperatura:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura
.
Passo 4
Integrando a equação acima, temos:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar
:
Para
,
:
Para
,
:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar a taxa de perda de calor
:
Convertendo os raios de cm para metros:
Calculando: