Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes
e
, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um contêiner esférico com raio interno
e raio externo
. A condutividade térmica é
. As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes,
e
, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a teoria de condução de calor em esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas no estado estacionário, que nos diz como o calor se propaga sem acumular energia no sistema. A equação geral para a taxa de fluxo de calor
em uma esfera é:
Aqui,
representa a variação da temperatura com relação ao raio
.
Passo 3
Como estamos no estado estacionário, a taxa de fluxo de calor
é constante em qualquer ponto da casca esférica. Vamos isolar a derivada da temperatura:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura
.
Passo 4
Integrando a equação acima, temos:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar
:
Para
,
:
Para
,
:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar a taxa de perda de calor
:
Convertendo os raios de cm para metros:
Calculando:
Resposta
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(1.8)
Resp.
(1.8)
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onde
é a concentração molar de A no absorvente,
é a concentração molar de A no fluido circundante ek é um coeficiente de partição para o soluto A entre o fluido e o material absorvente. Suponha: (1) Que o fluido circundante esteja muito bem misturado e tenha uma concentração constante
igual a 2
; (2) o coeficiente de difusão de A no material absorvente éigual a
e o coeficiente de partição igual
.fluido/
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