Considere um contêiner esférico de raio interno , raio externo e condutividade térmica . As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes e , respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um contêiner esférico com raio interno e raio externo . A condutividade térmica é . As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes, e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a teoria de condução de calor em esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas no estado estacionário, que nos diz como o calor se propaga sem acumular energia no sistema. A equação geral para a taxa de fluxo de calor em uma esfera é:
Aqui, representa a variação da temperatura com relação ao raio .

Passo 3

Como estamos no estado estacionário, a taxa de fluxo de calor é constante em qualquer ponto da casca esférica. Vamos isolar a derivada da temperatura:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura .

Passo 4

Integrando a equação acima, temos:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar :
Para , :
Para , :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar a taxa de perda de calor :
Convertendo os raios de cm para metros:
Calculando:

Resposta

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(1.8)
Resp.
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