Umbife (steak) de 2 cm de espessuraé marinado com vinagre de vinho tinto que apresenta uma concentração de 50 Kg / m^3 de ácido acético. Quanto tempo o bife deve permanecer maninando para que possa atingir uma concentração de 10 Kg / m^3 de ácido acético em 2 mm dentro do bife (isto é, 2 mm abaixo da superfície do bife)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um bife de 2 cm de espessura que está sendo marinado em vinagre de vinho tinto com uma concentração de ácido acético de . A pergunta é: quanto tempo esse bife precisa ficar marinando para que, a 2 mm abaixo da superfície, a concentração de ácido acético chegue a ? Vamos usar conceitos de difusão, que é como as partículas se movem de uma área com alta concentração para uma com baixa concentração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a difusão é o processo pelo qual as moléculas de ácido acético vão “se espalhando” do vinagre para dentro do bife. A quantidade de tempo que isso leva depende de quão rapidamente as moléculas conseguem se mover através do bife, o que é influenciado pela coeficiente de difusão do ácido acético na carne.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Fick para resolver isso. A segunda lei de Fick nos ajuda a relacionar a mudança na concentração com o tempo e a distância que as moléculas se movem. A equação é:
partial Cpartial t = D partial^2 Cpartial x^2
Onde:
  • é a concentração de ácido acético,
  • é o tempo,
  • é o coeficiente de difusão,
  • é a profundidade dentro do bife.

Passo 4

Como estamos interessados na concentração a 2 mm da superfície, podemos simplificar o problema assumindo que o bife é grande o suficiente para que a difusão nessa profundidade não seja afetada pelas outras extremidades. Usaremos a solução da equação de difusão para um semi-infinito sólido com concentração constante na superfície:
C(x,t) = C0 , erfc(x2raizDt)
Onde:
  • é a concentração no vinagre ( ),
  • é a função complementar do erro,
  • é a profundidade (2 mm = 0,002 m),
  • é o tempo que queremos encontrar.

Passo 5

Queremos que 10 = 50 times erfc(0,0022raizDt) , então temos:
0,2 = erfc(0,0022raizDt)
Dividindo ambos os lados por 50:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor onde a função 0,0022raizDt = 0,84 . Olhando uma tabela da função erro complementar ou usando uma calculadora, vemos que isso ocorre para aproximadamente .
Então:

Passo 7

Resolvendo para raizDt = 0,0022 times 0,84 approx 0,0021,68 approx 0,00119 , m :
Dt = (0,00119)^2 approx 1,414 times 10^-6 , m^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, isolamos t = 1,414 times 10^-6D :
t = 1,414 times 10^-61 times 10^-9 = 1,414 times 10^3 , s
Aqui, precisamos do valor do coeficiente de difusão ( t approx 141460 approx 23,57 , minutos ) do ácido acético na carne. Supondo que (valor típico para moléculas pequenas em alimentos):
Convertendo para minutos:

Resposta

O bife deve permanecer marinando por aproximadamente 24 minutos para que a concentração de ácido acético atinja a 2 mm abaixo da superfície.

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