Considere um contêiner esférico de raio interno r1=8 cm, raio externo r2=10 cm e condutividade térmica k=45 W / m K. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes T1=200^circ C e T2=80^circ C, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor.
Resp:
q=27100 W T(r)=r1 r2r(r2-r1)(T1-T2)+r2 T2-r1 T1r2-r1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um contêiner esférico com um raio interno de e um raio externo de . A condutividade térmica do material é . As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes: e , respectivamente. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e calcular a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e princípios de estado estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é estado estacionário. Significa que a temperatura em cada ponto não está mudando com o tempo. Então, a transferência de calor é constante e podemos usar a equação de condução de calor para uma esfera:
q = -k cdot 4pi r^2 cdot dTdr
Aqui, é a taxa de transferência de calor, é a condutividade térmica, é a distância radial do centro da esfera, e é a derivada da temperatura em relação a .

Passo 3

Em estado estacionário, a taxa de transferência de calor dTdr = -q4pi k r^2 é constante para qualquer raio integralT1^T(r) dT = -q4pi k integralr1^r 1r^2 dr dentro da casca esférica. Então, podemos reescrever a equação:
T(r) - T1 = q4pi k ( 1r - 1r1 )
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar T(r) = T1 + q4pi k ( 1r - 1r1 ) . Integramos de a :
Isso nos dá:
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição na superfície externa, onde T2 = T1 + q4pi k ( 1r2 - 1r1 ) e q = 4pi k (T2 - T1)( 1r2 - 1r1 ) . Substituindo na equação:
q = 4pi k r1 r2 (T2 - T1)r1 - r2
Vamos isolar q = 4pi k r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1 :
Simplificando:
Como , podemos escrever:

Passo 5

Agora que temos r1 = 8 , cm = 0,08 , m r2 = 10 , cm = 0,10 , m , podemos calcular o valor numérico. Primeiro, vamos converter os raios para metros:
q = 4pi times 45 times 0,08 times 0,10 times (200 - 80)0,10 - 0,08
Substituindo os valores na equação de q = 4pi times 45 times 0,008 times 1200,02 q = 4pi times 45 times 0,960,02 q = 4pi times 43,20,02 q = 172,8pi0,02 q = 8640pi approx 27100 , W :
Calculando os valores:

Resposta

q = 27100 , W T(r) = r1 r2r(r2 - r1) (T1 - T2) + r2 T2 - r1 T1r2 - r1

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