Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes
e
, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor.
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um contêiner esférico com um raio interno de
e um raio externo de
. A condutividade térmica do material é
. As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes:
e
, respectivamente. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e calcular a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e princípios de estado estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é estado estacionário. Significa que a temperatura em cada ponto não está mudando com o tempo. Então, a transferência de calor é constante e podemos usar a equação de condução de calor para uma esfera:
Aqui,
é a taxa de transferência de calor,
é a condutividade térmica,
é a distância radial do centro da esfera, e
é a derivada da temperatura em relação a
.
Passo 3
Em estado estacionário, a taxa de transferência de calor
é constante para qualquer raio
dentro da casca esférica. Então, podemos reescrever a equação:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar
. Integramos de
a
:
Isso nos dá:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição na superfície externa, onde
e
. Substituindo na equação:
Vamos isolar
:
Simplificando:
Como
, podemos escrever:
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular o valor numérico. Primeiro, vamos converter os raios para metros:
Substituindo os valores na equação de
:
Calculando os valores: