Considere um contêiner esférico de raio interno , raio externo e condutividade térmica . As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes e , respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor.
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um contêiner esférico com um raio interno de e um raio externo de . A condutividade térmica do material é . As temperaturas nas superfícies interna e externa são constantes: e , respectivamente. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro da casca do contêiner em estado estacionário e calcular a taxa de perda de calor. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e princípios de estado estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é estado estacionário. Significa que a temperatura em cada ponto não está mudando com o tempo. Então, a transferência de calor é constante e podemos usar a equação de condução de calor para uma esfera:
Aqui, é a taxa de transferência de calor, é a condutividade térmica, é a distância radial do centro da esfera, e é a derivada da temperatura em relação a .

Passo 3

Em estado estacionário, a taxa de transferência de calor é constante para qualquer raio dentro da casca esférica. Então, podemos reescrever a equação:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar . Integramos de a :
Isso nos dá:
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição na superfície externa, onde e . Substituindo na equação:
Vamos isolar :
Simplificando:
Como , podemos escrever:

Passo 5

Agora que temos , podemos calcular o valor numérico. Primeiro, vamos converter os raios para metros:
Substituindo os valores na equação de :
Calculando os valores:

Resposta

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Resp:

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b)
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