O perfil de velocidade de uma camada líquida escoando sobre uma parede vertical pode ser dada por:
onde: L - espessura da camada líquida;
- velocidade de escoamento à uma distância x da parede (sentido e direção: ).
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é da velocidade da superfície live;
b) Determinar a espessura da camada de água (à ), escoando em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o perfil de velocidade de uma camada líquida que está escorrendo sobre uma parede vertical. A equação dada é:
Aqui, L é a espessura da camada líquida, v<sub>y</sub> é a velocidade de escoamento a uma distância x da parede, ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade, e μ é a viscosidade dinâmica do líquido.
Vamos precisar entender como calcular a velocidade média do líquido e, depois, determinar a espessura da camada de água para um fluxo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício: mostrar que a velocidade média do líquido é da velocidade na superfície.
A velocidade média (v<sub>média</sub>) em um perfil de velocidade pode ser encontrada integrando a função de velocidade sobre a espessura da camada e dividindo pelo comprimento da camada. A fórmula é:
é

Passo 3

Substituindo a expressão de na integral:
é
Podemos simplificar a constante fora da integral:
é

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
é
A velocidade na superfície (v<sub>superfície</sub>) ocorre quando x = L, então substituímos x = L na equação original:
í

Passo 6

Agora, vamos comparar é com í:
éí
Então, a velocidade média é da velocidade na superfície.

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b): determinar a espessura da camada de água à C, escorrendo em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.
Primeiro, vamos converter a taxa de fluxo para unidades compatíveis. 100,0 litros/min é igual a metros cúbicos por minuto, já que litro = m³.

Passo 8

A taxa de fluxo volumétrico (Q) pode ser relacionada com a velocidade média e a área através da fórmula:
é
Onde A é a área de fluxo. Como a parede tem 1,0 metro de largura e queremos encontrar a espessura L, a área é:

Passo 9

Rearranjando a fórmula para encontrar a espessura L:
éé
Substituímos largura por 1,0 m:
é

Passo 10

Sabemos da parte a) que:
éí
E da equação de velocidade na superfície:
í
Então,
é

Passo 11

Substituindo é na equação de L:
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 12

Agora, precisamos dos valores para μ, ρ, e g à C. Para a água a 20°C:
  • μ (viscosidade dinâmica) ≈
  • ρ (densidade) ≈
  • g =
E Q = 0,1 m³/min = ³³

Passo 13

Substituindo os valores na equação para L:
³
Calculando o numerador:
³
Calculando o denominador:
²²
Agora,
Calculando a raiz cúbica:

Resposta

b) A espessura da camada de água é aproximadamente 0,800 mm.

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a) A taxa de perda de calor através do telhado naquela noite.
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Resp:

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b)
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