O perfil de velocidade de uma camada líquida escoando sobre uma parede vertical pode ser dada por:
onde: L - espessura da camada líquida;
- velocidade de escoamento à uma distância x da parede (sentido e direção:
).
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é
da velocidade da superfície live;
b) Determinar a espessura da camada de água (à
), escoando em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é
b) Determinar a espessura da camada de água (à
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o perfil de velocidade de uma camada líquida que está escorrendo sobre uma parede vertical. A equação dada é:
Aqui, L é a espessura da camada líquida, v<sub>y</sub> é a velocidade de escoamento a uma distância x da parede, ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade, e μ é a viscosidade dinâmica do líquido.
Vamos precisar entender como calcular a velocidade média do líquido e, depois, determinar a espessura da camada de água para um fluxo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício: mostrar que a velocidade média do líquido é
da velocidade na superfície.
A velocidade média (v<sub>média</sub>) em um perfil de velocidade pode ser encontrada integrando a função de velocidade sobre a espessura da camada e dividindo pelo comprimento da camada. A fórmula é:
Passo 3
Substituindo a expressão de
na integral:
Podemos simplificar a constante fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
A velocidade na superfície (v<sub>superfície</sub>) ocorre quando x = L, então substituímos x = L na equação original:
Passo 6
Agora, vamos comparar
com
:
Então, a velocidade média é
da velocidade na superfície.
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte b): determinar a espessura da camada de água à
C, escorrendo em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.
Primeiro, vamos converter a taxa de fluxo para unidades compatíveis. 100,0 litros/min é igual a
metros cúbicos por minuto, já que
litro =
m³.
Passo 8
A taxa de fluxo volumétrico (Q) pode ser relacionada com a velocidade média e a área através da fórmula:
Onde A é a área de fluxo. Como a parede tem 1,0 metro de largura e queremos encontrar a espessura L, a área é:
Passo 9
Rearranjando a fórmula para encontrar a espessura L:
Substituímos largura por 1,0 m:
Passo 10
Sabemos da parte a) que:
E da equação de velocidade na superfície:
Então,
Passo 11
Substituindo
na equação de L:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
Passo 12
Agora, precisamos dos valores para μ, ρ, e g à
C. Para a água a 20°C:
- μ (viscosidade dinâmica) ≈
- ρ (densidade) ≈
- g =
E Q = 0,1 m³/min =
Passo 13
Substituindo os valores na equação para L:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora,
Calculando a raiz cúbica:
Resposta
b) A espessura da camada de água é aproximadamente 0,800 mm.