O perfil de velocidade de uma camada líquida escoando sobre uma parede vertical pode ser dada por:
vy=[rho g(L cdot x-x^2 / 2)] / mu
onde: L - espessura da camada líquida;
vy - velocidade de escoamento à uma distância x da parede (sentido e direção: g ).
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é 2 / 3 da velocidade da superfície live;
b) Determinar a espessura da camada de água (à 20^circ C ), escoando em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o perfil de velocidade de uma camada líquida que está escorrendo sobre uma parede vertical. A equação dada é:
vy = rho g ( L cdot x - x^22 )mu
Aqui, L é a espessura da camada líquida, v<sub>y</sub> é a velocidade de escoamento a uma distância x da parede, ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade, e μ é a viscosidade dinâmica do líquido.
Vamos precisar entender como calcular a velocidade média do líquido e, depois, determinar a espessura da camada de água para um fluxo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício: mostrar que a velocidade média do líquido é vmédia = 1L integral0^L vy , dx da velocidade na superfície.
A velocidade média (v<sub>média</sub>) em um perfil de velocidade pode ser encontrada integrando a função de velocidade sobre a espessura da camada e dividindo pelo comprimento da camada. A fórmula é:
é

Passo 3

Substituindo a expressão de vmédia = 1L integral0^L rho g ( Lx - x^22 )mu , dx na integral:
vmédia = rho gmu L integral0^L ( Lx - x^22 ) dx é
Podemos simplificar a constante fora da integral:
é

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^L ( Lx - x^22 ) dx = integral0^L Lx , dx - 12 integral0^L x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^L Lx , dx = L [ x^22 ]0^L = L cdot L^22 = L^32
12 integral0^L x^2 , dx = 12 [ x^33 ]0^L = 12 cdot L^33 = L^36
Então:
integral0^L ( Lx - x^22 ) dx = L^32 - L^36 = L^33

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
vmédia = rho gmu L cdot L^33 = rho g L^23 mu é
A velocidade na superfície (v<sub>superfície</sub>) ocorre quando x = L, então substituímos x = L na equação original:
vsuperfície = rho g ( L cdot L - L^22 )mu = rho g ( L^22 )mu = rho g L^22 mu í

Passo 6

Agora, vamos comparar vmédiavsuperfície = rho g L^23 murho g L^22 mu = 23 é com í:
éí
Então, a velocidade média é da velocidade na superfície.

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b): determinar a espessura da camada de água à C, escorrendo em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros/min.
Primeiro, vamos converter a taxa de fluxo para unidades compatíveis. 100,0 litros/min é igual a metros cúbicos por minuto, já que litro = m³.

Passo 8

A taxa de fluxo volumétrico (Q) pode ser relacionada com a velocidade média e a área através da fórmula:
Q = vmédia cdot A é
Onde A é a área de fluxo. Como a parede tem 1,0 metro de largura e queremos encontrar a espessura L, a área é:
A = largura cdot L = 1,0 , m cdot L

Passo 9

Rearranjando a fórmula para encontrar a espessura L:
L = Qvmédia cdot largura = Qvmédia éé
Substituímos largura por 1,0 m:
L = Qvmédia é

Passo 10

Sabemos da parte a) que:
vmédia = 23 vsuperfície éí
E da equação de velocidade na superfície:
vsuperfície = rho g L^22 mu í
Então,
vmédia = 23 cdot rho g L^22 mu = rho g L^23 mu é

Passo 11

Substituindo L = Qrho g L^23 mu = 3 mu Qrho g L^2 é na equação de L:
L^3 = 3 mu Qrho g
Multiplicando ambos os lados por L = ( 3 mu Qrho g )^1/3 :
Então,

Passo 12

Agora, precisamos dos valores para μ, ρ, e g à C. Para a água a 20°C:
  • μ (viscosidade dinâmica) ≈
  • ρ (densidade) ≈
  • g =
E Q = 0,1 m³/min = ³³

Passo 13

Substituindo os valores na equação para L:
L = ( 3 times 1,002 times 10^-3 , Pa cdot s times 0,0016667 , m³/s998 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 )^1/3 ³
Calculando o numerador:
3 times 1,002 times 10^-3 times 0,0016667 approx 5,01 times 10^-6 , Pa cdot s cdot m³/s ³
Calculando o denominador:
998 times 9,81 approx 9803,38 , kg/(m²·s²) ²²
Agora,
L = ( 5,01 times 10^-69803,38 )^1/3 approx ( 5,114 times 10^-10 )^1/3
Calculando a raiz cúbica:
L approx 8,0 times 10^-4 , m = 0,800 , mm

Resposta

b) A espessura da camada de água é aproximadamente 0,800 mm.

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