Considere um corredor de 100 m rasos, de nível olímpico, cuja massa é de 80 kg e que percorre, tipicamente, 100m em 10s. Suponha que a incerteza na determinação do tempo da prova é da ordem de milésimos de segundo ( 0,1 % ), que sua massa é determinada com precisão absoluta e que a velocidade durante a prova é constante. De acordo com o princípio da incerteza, qual é o limite estimado para a determinação da posição do corredor? Você tem algum comentário a fazer
sobre o resultado obtido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corredor de 100 metros que pesa 80 kg e faz a prova em 10 segundos. A precisão com que sabemos o tempo que ele levou é de 0,1%, ou seja, uma margem de erro de milésimos de segundo. Queremos usar o princípio da incerteza da física para descobrir qual é o limite para saber exatamente onde o corredor está durante a corrida. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona o princípio da incerteza e aplicar uns cálculos básicos de física.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o princípio da incerteza de Heisenberg. Esse princípio diz que não dá pra saber, ao mesmo tempo, com perfeita precisão, a posição ( De) e o momento ( De) de uma partícula. A relação matemática é:
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,054 times 10^-34 J·s.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o momento ( p) com a velocidade. O momento é dado por:
p = m v
Onde:
  • m é a massa do corredor (80 kg)
  • v é a velocidade (que vamos calcular)
Como queremos a incerteza no momento ( De), usamos:
De
Aqui, De é a incerteza na velocidade.

Passo 4

Sabemos que o corredor levou 10 segundos para percorrer 100 metros, então a velocidade média é:
v = 100 m10 s = 10 m/s
A incerteza no tempo ( De) é de 0,1%, então:
De
Para achar a incerteza na velocidade ( De), consideramos que:
De
Mas queremos De, então vamos inverter essa relação depois.

Passo 5

Voltando ao princípio da incerteza:
Substituindo De por m De:
Isolando De:

Passo 6

Agora, vamos substituir De pela relação com De:
De
Então:
Multiplicando ambos os lados por De:
Isolando De:

Passo 7

Vamos agora substituir os valores:
  • hbar = 1,054 times 10^-34 J·s
  • De s
  • m = 80 kg
Então:
Calculando o numerador:
1,054 times 10^-34 times 0,01 = 1,054 times 10^-36 J·s
E o denominador:
2 times 80 = 160
Então:

Resposta

O limite estimado para a determinação da posição do corredor, de acordo com o princípio da incerteza, é de aproximadamente 8,1 times 10^-20 metros.
Comentário: Esse valor é extremamente pequeno, muito menor do que qualquer distância que possamos medir atualmente, ou mesmo naquele nível de escala. Isso mostra que, para objetos macroscópicos como um corredor de 80 kg, o princípio da incerteza de Heisenberg não tem impacto prático na determinação da posição. Ou seja, a incerteza na posição devido a esse princípio é insignificante no mundo real para coisas grandes.

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