Considere um corredor de 100 m rasos, de nível olímpico, cuja massa é de 80 kg e que percorre, tipicamente, 100m em 10s. Suponha que a incerteza na determinação do tempo da prova é da ordem de milésimos de segundo ( ), que sua massa é determinada com precisão absoluta e que a velocidade durante a prova é constante. De acordo com o princípio da incerteza, qual é o limite estimado para a determinação da posição do corredor? Você tem algum comentário a fazer
sobre o resultado obtido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corredor de 100 metros que pesa 80 kg e faz a prova em 10 segundos. A precisão com que sabemos o tempo que ele levou é de 0,1%, ou seja, uma margem de erro de milésimos de segundo. Queremos usar o princípio da incerteza da física para descobrir qual é o limite para saber exatamente onde o corredor está durante a corrida. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona o princípio da incerteza e aplicar uns cálculos básicos de física.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o princípio da incerteza de Heisenberg. Esse princípio diz que não dá pra saber, ao mesmo tempo, com perfeita precisão, a posição ( ) e o momento ( ) de uma partícula. A relação matemática é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente J·s.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o momento ( ) com a velocidade. O momento é dado por:
Onde:
  • é a massa do corredor (80 kg)
  • é a velocidade (que vamos calcular)
Como queremos a incerteza no momento ( ), usamos:
Aqui, é a incerteza na velocidade.

Passo 4

Sabemos que o corredor levou 10 segundos para percorrer 100 metros, então a velocidade média é:
A incerteza no tempo ( ) é de 0,1%, então:
Para achar a incerteza na velocidade ( ), consideramos que:
Mas queremos , então vamos inverter essa relação depois.

Passo 5

Voltando ao princípio da incerteza:
Substituindo por :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir pela relação com :
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :

Passo 7

Vamos agora substituir os valores:
  • J·s
  • s
  • kg
Então:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:

Resposta

O limite estimado para a determinação da posição do corredor, de acordo com o princípio da incerteza, é de aproximadamente metros.
Comentário: Esse valor é extremamente pequeno, muito menor do que qualquer distância que possamos medir atualmente, ou mesmo naquele nível de escala. Isso mostra que, para objetos macroscópicos como um corredor de 80 kg, o princípio da incerteza de Heisenberg não tem impacto prático na determinação da posição. Ou seja, a incerteza na posição devido a esse princípio é insignificante no mundo real para coisas grandes.

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