Considere um corredor de 100 m rasos, de nível olímpico, cuja massa é de 80 kg e que percorre, tipicamente, 100m em 10s. Suponha que a incerteza na determinação do tempo da prova é da ordem de milésimos de segundo (
), que sua massa é determinada com precisão absoluta e que a velocidade durante a prova é constante. De acordo com o princípio da incerteza, qual é o limite estimado para a determinação da posição do corredor? Você tem algum comentário a fazer
sobre o resultado obtido?
sobre o resultado obtido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corredor de 100 metros que pesa 80 kg e faz a prova em 10 segundos. A precisão com que sabemos o tempo que ele levou é de 0,1%, ou seja, uma margem de erro de milésimos de segundo. Queremos usar o princípio da incerteza da física para descobrir qual é o limite para saber exatamente onde o corredor está durante a corrida. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona o princípio da incerteza e aplicar uns cálculos básicos de física.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o princípio da incerteza de Heisenberg. Esse princípio diz que não dá pra saber, ao mesmo tempo, com perfeita precisão, a posição (
) e o momento (
) de uma partícula. A relação matemática é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente
J·s.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o momento (
) com a velocidade. O momento é dado por:
Onde:
-
é a massa do corredor (80 kg) -
é a velocidade (que vamos calcular)
Como queremos a incerteza no momento (
), usamos:
Aqui,
é a incerteza na velocidade.
Passo 4
Sabemos que o corredor levou 10 segundos para percorrer 100 metros, então a velocidade média é:
A incerteza no tempo (
) é de 0,1%, então:
Para achar a incerteza na velocidade (
), consideramos que:
Mas queremos
, então vamos inverter essa relação depois.
Passo 5
Voltando ao princípio da incerteza:
Substituindo
por
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
pela relação com
:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores:
-
J·s -
s -
kg
Então:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Resposta
O limite estimado para a determinação da posição do corredor, de acordo com o princípio da incerteza, é de aproximadamente
metros.
Comentário: Esse valor é extremamente pequeno, muito menor do que qualquer distância que possamos medir atualmente, ou mesmo naquele nível de escala. Isso mostra que, para objetos macroscópicos como um corredor de 80 kg, o princípio da incerteza de Heisenberg não tem impacto prático na determinação da posição. Ou seja, a incerteza na posição devido a esse princípio é insignificante no mundo real para coisas grandes.