No átomo de hidrogênio, a magnitude da força de atração entre o núcleo carregado positivamente (próton) e o elétron carregado negativamente é dada por F=k e^2 / r^2 em que e é a magnitude da carga do elétron e do próton, e r é a separação entre o elétron e o núcleo e k é a constante de permissividade elétrica no vácuo. Suponha que o núcleo está fixo (em repouso) e que o elétron, inicialmente movendo-se numa órbita circular de raio r1, repentinamente pula para uma outra órbita, mais interna, de raio r2(r1>r2).
a) Calcule a variação na energia cinética do elétron, usando a Segunda Lei de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o átomo de hidrogênio, especificamente sobre a força de atração entre o próton (núcleo) e o elétron. A gente vai trabalhar com conceitos de força centrípeta e energia cinética para descobrir como a energia do elétron muda quando ele muda de órbita. Vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton e algumas fórmulas de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: F = m cdot v^2r . No caso do elétron em órbita circular, a força de atração do núcleo fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron na trajetória circular. Então, podemos escrever:
Aqui, é a massa do elétron, é a velocidade dele, e é o raio da órbita.

Passo 3

Sabemos também que a força de atração entre o próton e o elétron é dada por:
F = k e^2r^2
Como essas duas expressões representam a mesma força, podemos igualá-las:
m cdot v^2r = k e^2r^2

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade m cdot v^2 = k e^2r em termos de v^2 = k e^2m r :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética ( KE = 12 m v^2 ) do elétron, que é dada por:
KE = 12 m ( k e^2m r ) = k e^22 r
Substituindo da etapa anterior:

Passo 6

A energia cinética inicial quando o elétron está na órbita de raio KE1 = k e^22 r1 é:
KE2 = k e^22 r2
E a energia cinética final na órbita de raio é:

Passo 7

Para encontrar a variação na energia cinética ( De), subtraímos a energia inicial da final:

Resposta

A variação na energia cinética do elétron é:
De

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