No átomo de hidrogênio, a magnitude da força de atração entre o núcleo carregado positivamente (próton) e o elétron carregado negativamente é dada por
em que
é a magnitude da carga do elétron e do próton, e
é a separação entre o elétron e o núcleo e
é a constante de permissividade elétrica no vácuo. Suponha que o núcleo está fixo (em repouso) e que o elétron, inicialmente movendo-se numa órbita circular de raio
, repentinamente pula para uma outra órbita, mais interna, de raio
.
a) Calcule a variação na energia cinética do elétron, usando a Segunda Lei de Newton.
a) Calcule a variação na energia cinética do elétron, usando a Segunda Lei de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o átomo de hidrogênio, especificamente sobre a força de atração entre o próton (núcleo) e o elétron. A gente vai trabalhar com conceitos de força centrípeta e energia cinética para descobrir como a energia do elétron muda quando ele muda de órbita. Vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton e algumas fórmulas de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
. No caso do elétron em órbita circular, a força de atração do núcleo fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron na trajetória circular. Então, podemos escrever:
Aqui,
é a massa do elétron,
é a velocidade dele, e
é o raio da órbita.
Passo 3
Sabemos também que a força de atração entre o próton e o elétron é dada por:
Como essas duas expressões representam a mesma força, podemos igualá-las:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) do elétron, que é dada por:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
A energia cinética inicial quando o elétron está na órbita de raio
é:
E a energia cinética final na órbita de raio
é:
Passo 7
Para encontrar a variação na energia cinética (
), subtraímos a energia inicial da final:
Resposta
A variação na energia cinética do elétron é: