Considere a curva parametrizada por . Determine as equações paramétricas da reta tangente a no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por uma função vetorial para . A missão é encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto .
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com curvas parametrizadas e suas retas tangentes. Para resolver, vamos precisar encontrar o valor de correspondente ao ponto dado e depois calcular a derivada da função vetorial para obter a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para qual valor de a função vetorial nos dá o ponto .
Temos:
Isso significa que:
Vamos resolver a última equação primeiro: . Tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos (já que ).
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos verificar se isso satisfaz as duas primeiras equações.
Para a segunda equação: . Como , temos , que é igual ao valor dado. Então, está tudo certo.
Para a primeira equação: . Sabemos que , então:
Que corresponde ao valor dado . Portanto, é o valor que precisamos.
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada da função vetorial para encontrar a direção da reta tangente.
A derivada de em relação a é:
Vamos calcular :
Sabemos que e , então:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto dado.
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta tangente. Uma reta no espaço é definida por um ponto de passagem e um vetor diretor. Aqui, o ponto de passagem é e o vetor diretor é .