Considere o sólido
que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de
, explicitando todos os limites de integração (em
e
se usar integral dupla ou em
e
se usar integral tripla).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais múltiplas. Temos que encontrar o volume do sólido
que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar uma integral tripla, já que estamos lidando com as três dimensões
,
e
. Precisaremos definir os limites de integração para cada uma dessas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites para
,
e
. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas são não negativas:
,
, e
.
Passo 3
Vamos expressar o plano
de forma que possamos isolar
para determinar seu limite superior. Assim:
Isso nos dá o limite superior para
. O limite inferior é
(plano coordenado
).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os limites para
em termos de
. Para isso, consideramos
no plano:
Então, para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 5
Finalmente, determinamos os limites para
. Observando a equação
, vemos que quando
,
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 6
Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla para o volume
de
:
Resposta
A integral tripla que fornece o volume de
é: