Considere o sólido E que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2 x + 2 y + z = 2. Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de E, explicitando todos os limites de integração (em x e y se usar integral dupla ou em x, y e z se usar integral tripla).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais múltiplas. Temos que encontrar o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados ( , , ) e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar uma integral tripla, já que estamos lidando com as três dimensões , e . Precisaremos definir os limites de integração para cada uma dessas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites para , e . Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas são não negativas: , , e .

Passo 3

Vamos expressar o plano de forma que possamos isolar para determinar seu limite superior. Assim:
Isso nos dá o limite superior para . O limite inferior é (plano coordenado ).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites para em termos de . Para isso, consideramos no plano:
Então, para cada valor de , varia de até .

Passo 5

Finalmente, determinamos os limites para . Observando a equação , vemos que quando , . Portanto, varia de a .

Passo 6

Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla para o volume de :

Resposta

A integral tripla que fornece o volume de é:

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