Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: b)
.
Resp:
Encontre: b)
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa (
) de um cubo sólido no
octante. A matéria envolve cálculo integral aplicada à física, especificamente na determinação do centro de massa usando integrais triplas. Para isso, vamos precisar calcular a massa total do cubo e os momentos em relação aos eixos
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total (
) do cubo. A massa é obtida integrando a densidade
sobre todo o volume do cubo. Como o cubo está no
octante e limitado por
,
e
, os limites de integração para cada variável são de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular os momentos em relação aos eixos
,
e
:
Essas integrais vão calcular o “peso” de cada coordenada no centro de massa.
Passo 4
Com os valores de
,
,
e
calculados, podemos determinar as coordenadas do centro de massa (
) usando as fórmulas:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere o sólido
que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de
, explicitando todos os limites de integração (em
e
se usar integral dupla ou em
e
se usar integral tripla).
Considere a curva
parametrizada por
. Determine as equações paramétricas da reta tangente a
no ponto
.
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Uma lâmina fina ocupa toda a região
. Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo
sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.