Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z = 1. Sua densidade é rho(x, y, z) = x + y + z + 1.
Encontre: b) O C M.
Resp: (8/15, 8/15, 8/15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa ( ) de um cubo sólido no octante. A matéria envolve cálculo integral aplicada à física, especificamente na determinação do centro de massa usando integrais triplas. Para isso, vamos precisar calcular a massa total do cubo e os momentos em relação aos eixos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total ( ) do cubo. A massa é obtida integrando a densidade sobre todo o volume do cubo. Como o cubo está no octante e limitado por , e , os limites de integração para cada variável são de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos em relação aos eixos , e :
Essas integrais vão calcular o “peso” de cada coordenada no centro de massa.

Passo 4

Com os valores de , , e calculados, podemos determinar as coordenadas do centro de massa ( ) usando as fórmulas:

Resposta

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