Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: b) .
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa ( ) de um cubo sólido no octante. A matéria envolve cálculo integral aplicada à física, especificamente na determinação do centro de massa usando integrais triplas. Para isso, vamos precisar calcular a massa total do cubo e os momentos em relação aos eixos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total ( ) do cubo. A massa é obtida integrando a densidade sobre todo o volume do cubo. Como o cubo está no octante e limitado por , e , os limites de integração para cada variável são de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos em relação aos eixos , e :
Essas integrais vão calcular o “peso” de cada coordenada no centro de massa.

Passo 4

Com os valores de , , e calculados, podemos determinar as coordenadas do centro de massa ( ) usando as fórmulas:

Resposta

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Considere o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de , explicitando todos os limites de integração (em e se usar integral dupla ou em e se usar integral tripla).
Considere a curva parametrizada por . Determine as equações paramétricas da reta tangente a no ponto .
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.