Considere a curva
parametrizada por
. Mostre que
está no paraboloide de equação
e use este fato para esboçar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
parametrizada por onde
. A questão pede pra gente mostrar que essa curva está no paraboloide definido por
e, depois, usar isso pra esboçar a curva. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como as equações se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas da curva
. A parametrização nos dá:
Isso significa que para cada valor de
, a curva passa por um ponto
específico no espaço.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz a equação do paraboloide
. Vamos calcular
:
Sabemos que , então:
Isso mostra que:
Portanto, para todo valor de
, a curva está no paraboloide
.
Passo 4
Agora que já sabemos que a curva
está no paraboloide, vamos pensar em como esboçá-la. A parametrização lembra uma espiral que está subindo à medida que
aumenta. Como
, conforme
cresce, o ponto sobe no eixo
.
Passo 5
Para visualizar melhor, imagine o paraboloide
como uma superfície que se abre para cima. A curva
começa no ponto
quando
e, conforme
aumenta, ela dá voltas ao redor do eixo
enquanto sobe. Isso forma uma espiral que fica cada vez mais afastada do eixo conforme sobe.
Resposta
A curva
está localizada no paraboloide de equação
e pode ser visualizada como uma espiral ascendente sobre essa superfície.
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Sem memória?
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Determine a massa e o
da lâmina que ocupa a região
e tem função densidade
é uma região triangular com vértices
e
Resp:
e
Considere a curva
parametrizada por
. Determine as equações paramétricas da reta tangente a
no ponto
.