Considere a curva parametrizada por . Mostre que está no paraboloide de equação e use este fato para esboçar .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada por onde . A questão pede pra gente mostrar que essa curva está no paraboloide definido por e, depois, usar isso pra esboçar a curva. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como as equações se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas da curva . A parametrização nos dá:
Isso significa que para cada valor de , a curva passa por um ponto específico no espaço.

Passo 3

Agora, vamos verificar se satisfaz a equação do paraboloide . Vamos calcular :
Sabemos que , então:
Isso mostra que:
Portanto, para todo valor de , a curva está no paraboloide .

Passo 4

Agora que já sabemos que a curva está no paraboloide, vamos pensar em como esboçá-la. A parametrização lembra uma espiral que está subindo à medida que aumenta. Como , conforme cresce, o ponto sobe no eixo .

Passo 5

Para visualizar melhor, imagine o paraboloide como uma superfície que se abre para cima. A curva começa no ponto quando e, conforme aumenta, ela dá voltas ao redor do eixo enquanto sobe. Isso forma uma espiral que fica cada vez mais afastada do eixo conforme sobe.

Resposta

A curva está localizada no paraboloide de equação e pode ser visualizada como uma espiral ascendente sobre essa superfície.

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