Considere a curva
. Se
representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
para
entre 0 e
. Essa curva representa a posição de um corpo no espaço sob a ação de um campo de forças
. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse campo
faz para mover o corpo do ponto inicial
até o ponto final
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho
realizado por um campo de forças
ao mover um corpo ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de forças e
é o diferencial da posição ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. Para isso, definimos
onde
. A derivada de
em relação a
nos dá o vetor tangente à curva:
Passo 4
Agora, vamos substituir
pela expressão dada no ponto
. Então:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, restando apenas
.
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral de trabalho:
Essa é uma integral simples de uma função linear.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
para deslocar o corpo de
até
é
.