Considere a curva γ(t) = (cos(t), t, sen(t)) com t ∈ [0, pi]. Se gamma representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante t sobre a ação de um campo de forças F(x, y, z) = (x, y, z), determine o trabalho realizado por esse campo F para deslocar o corpo de gamma(0) até gamma(pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva para entre 0 e . Essa curva representa a posição de um corpo no espaço sob a ação de um campo de forças . Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse campo faz para mover o corpo do ponto inicial até o ponto final . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover um corpo ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de forças e é o diferencial da posição ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Para isso, definimos onde . A derivada de em relação a nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

Agora, vamos substituir pela expressão dada no ponto . Então:

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando apenas .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral de trabalho:
Essa é uma integral simples de uma função linear.

Passo 7

Vamos resolver a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo para deslocar o corpo de até é .

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