Considere a curva . Se representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante sobre a ação de um campo de forças , determine o trabalho realizado por esse campo para deslocar o corpo de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva para entre 0 e . Essa curva representa a posição de um corpo no espaço sob a ação de um campo de forças . Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse campo faz para mover o corpo do ponto inicial até o ponto final . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover um corpo ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de forças e é o diferencial da posição ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Para isso, definimos onde . A derivada de em relação a nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

Agora, vamos substituir pela expressão dada no ponto . Então:

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando apenas .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral de trabalho:
Essa é uma integral simples de uma função linear.

Passo 7

Vamos resolver a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo para deslocar o corpo de até é .

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(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis , resolva os itens abaixo.
.
Questão 6 (3 pontos). Uma caixa retangular aberta com volume de tem uma base quadrada. Seja o comprimento de um dos lados da base da caixa. Assinale a opção que expressa a área da superfície da caixa como uma função do comprimento .
a) .
(b) .
D)
d) .
Questão 7 (3 pontos). Dados os gráficos na Figura 1:
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação . Verolaoluro
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por , então a equação relacionada ao gráfico Posição 1 é dado por . falso
III) A equação do gráfico Posição 4 é . Veroladluro
IV) A equação do gráfico Posição 3 é . falso
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1

Posicáo 4

Posicáo 3




Figura 1: Gráficos