Considere a curva
. Se
representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
para
entre 0 e
. Essa curva representa a posição de um corpo no espaço sob a ação de um campo de forças
. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse campo
faz para mover o corpo do ponto inicial
até o ponto final
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho
realizado por um campo de forças
ao mover um corpo ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de forças e
é o diferencial da posição ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. Para isso, definimos
onde
. A derivada de
em relação a
nos dá o vetor tangente à curva:
Passo 4
Agora, vamos substituir
pela expressão dada no ponto
. Então:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, restando apenas
.
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral de trabalho:
Essa é uma integral simples de uma função linear.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
para deslocar o corpo de
até
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Questão 6 (3 pontos). Uma caixa retangular aberta com volume de
tem uma base quadrada. Seja
o comprimento de um dos lados da base da caixa. Assinale a opção que expressa a área da superfície da caixa como uma função do comprimento
.
a) .
(b) .
a)
(b)
D)
d) .
d)
Questão 7 (3 pontos). Dados os gráficos na Figura 1:
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação . Verolaoluro
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por , então a equação relacionada ao gráfico Posição 1 é dado por
. falso
III) A equação do gráfico Posição 4 é . Veroladluro
IV) A equação do gráfico Posição 3 é . falso
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por
III) A equação do gráfico Posição 4 é
IV) A equação do gráfico Posição 3 é
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1
Posicáo 4
Posicáo 3
Figura 1: Gráficos