(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado nos dá a equação:
E pede para fazermos a mudança de variável
. Aqui,
, então
. Para resolver, vamos seguir os passos da resolução de equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Vamos encontrar
.
Usando a regra da cadeia:
Isolando
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Reorganizamos a equação para ficá-la linear em termos de
:
Multiplicamos todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
. A integral do lado direito, usando substituição
,
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é: