(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis z = y^(1-n), resolva os itens abaixo.
y'(t) + t^2 * y(t) = t^2 * (y(t))^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado nos dá a equação:
E pede para fazermos a mudança de variável . Aqui, , então . Para resolver, vamos seguir os passos da resolução de equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, fazemos a substituição . Vamos encontrar .
Usando a regra da cadeia:
Isolando :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Lembrando que , temos:

Passo 5

Reorganizamos a equação para ficá-la linear em termos de :
Multiplicamos todos os termos por para simplificar:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para . A integral do lado direito, usando substituição , :

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 10

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

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