(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis , resolva os itens abaixo.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado nos dá a equação:
E pede para fazermos a mudança de variável . Aqui, , então . Para resolver, vamos seguir os passos da resolução de equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, fazemos a substituição . Vamos encontrar .
Usando a regra da cadeia:
Isolando :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Lembrando que , temos:

Passo 5

Reorganizamos a equação para ficá-la linear em termos de :
Multiplicamos todos os termos por para simplificar:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para . A integral do lado direito, usando substituição , :

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 10

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Calcule , onde , onde é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Considere a curva . Se representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante sobre a ação de um campo de forças , determine o trabalho realizado por esse campo para deslocar o corpo de até .