(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado nos dá a equação:
E pede para fazermos a mudança de variável
. Aqui,
, então
. Para resolver, vamos seguir os passos da resolução de equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Vamos encontrar
.
Usando a regra da cadeia:
Isolando
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Reorganizamos a equação para ficá-la linear em termos de
:
Multiplicamos todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
. A integral do lado direito, usando substituição
,
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Considere a curva
. Se
representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.