Calcule integral duplaS F n d S, onde F(x, y, z)=(cos z+x y^2) i+(x e^-z) j+(sin y+x^2 z) k, onde S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide x^2+y^2=z e pelo plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde o campo vetorial F é dado por F(x, y, z) = (cos z + x y^2) i + (x e^-z) j + (sin y + x^2 z) k. A superfície S é delimitada pelo paraboloide x^2 + y^2 = z e pelo plano z=4. Vamos precisar usar teoria de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência, que diz que integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV, onde V é o volume limitado pela superfície S. Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de F e integrar isso sobre o volume V.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Agora, aplicando isso ao nosso F:
partialpartial x (cos z + x y^2) = y^2
partialpartial y (x e^-z) = 0
partialpartial z (sin y + x^2 z) = x^2
Então,
nabla cdot F = y^2 + 0 + x^2 = x^2 + y^2

Passo 4

Agora, precisamos integrar nabla cdot F = x^2 + y^2 sobre o volume V delimitado pelo paraboloide x^2 + y^2 = z e pelo plano z=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do paraboloide facilita a integração nesse sistema.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E a expressão x^2 + y^2 = z se torna r^2 = z. O plano z=4 define o limite superior do z.
Então, os limites de integração são:
r in [0, 2] (pois r^2 = 4 implies r=2)
theta in [0, 2pi]
z in [r^2, 4]

Passo 5

A integral de volume em coordenadas cilíndricas inclui o fator r:
integral triplaV (x^2 + y^2) , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^3 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2^4 r^3 , dz = r^3 (4 - r^2)

Passo 7

Agora, precisamos integrar isso em relação a r:
integral0^2 r^3 (4 - r^2) , dr = integral0^2 (4r^3 - r^5) , dr
Integrando termo a termo:
4 cdot r^44 - r^66 gr|0^2 = r^4 - r^66 gr|0^2
Substituindo r=2:
2^4 - 2^66 = 16 - 646 = 16 - 323 = 483 - 323 = 163

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 163 , dtheta = 163 cdot 2pi = 32pi3

Resposta

integral duplaS F cdot n , dS = 32pi3

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