Calcule , onde , onde é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Vamos precisar usar teoria de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência, que diz que , onde é o volume limitado pela superfície . Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Agora, aplicando isso ao nosso :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos integrar sobre o volume delimitado pelo paraboloide e pelo plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do paraboloide facilita a integração nesse sistema.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E a expressão se torna . O plano define o limite superior do z.
Então, os limites de integração são:

Passo 5

A integral de volume em coordenadas cilíndricas inclui o fator :
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, precisamos integrar isso em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo :

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

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.
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.
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a) .
(b) .
D)
d) .