Calcule , onde , onde é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Vamos precisar usar teoria de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência, que diz que , onde é o volume limitado pela superfície . Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Agora, aplicando isso ao nosso :
Então,
Passo 4
Agora, precisamos integrar sobre o volume delimitado pelo paraboloide e pelo plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do paraboloide facilita a integração nesse sistema.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E a expressão se torna . O plano define o limite superior do z.
Então, os limites de integração são:
Passo 5
A integral de volume em coordenadas cilíndricas inclui o fator :