Considere a curva
.
b) Se
representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
ao mover um corpo ao longo de uma curva
para
. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha para determinar o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Nesse caso,
é a posição do corpo ao longo do tempo, que nos dá a curva
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
com
:
Isso significa que:
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor diferencial
, que é a derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos avaliar o campo de forças
ao longo da curva
:
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Percebemos que
, então sobra:
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral para o trabalho:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha.
a) .
a)
Resolva os problemas de valor inicial:
Dado
, encontre o conjunto formado pelos números naturais de
;
Dados os conjuntos
e
verifique se as afirmaçőes abaixo são verdadeiras.