Considere a curva γ(t) = (cos(t), t, sen(t)) com t ∈ [0, pi].
b) Se gamma representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante t sobre a ação de um campo de forças F(x, y, z) = (x, y, z), determine o trabalho realizado por esse campo F para deslocar o corpo de gamma(0) até gamma(pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao mover um corpo ao longo de uma curva para . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha para determinar o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Nesse caso, é a posição do corpo ao longo do tempo, que nos dá a curva .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva com :
Isso significa que:

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor diferencial , que é a derivada de em relação a multiplicada por :
Então,

Passo 5

Agora, vamos avaliar o campo de forças ao longo da curva :

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Percebemos que , então sobra:

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral para o trabalho:

Passo 8

Resolvendo a integral:

Resposta

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