Calcule as integrais de linha.
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício pediu! A gente está trabalhando com cálculo de integrais de linha, que é uma forma de integrar funções ao longo de um caminho no plano. Para isso, vamos precisar parametrizar o caminho que vai do ponto até o ponto , substituir na função dada e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para ir de até . Vamos optar por um caminho reto, que é uma linha reta que liga os dois pontos. Isso facilita a parametrização.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar esse caminho. Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. As coordenadas e serão funções lineares que começam no ponto inicial e vão até o ponto final. Assim:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que são necessárias para substituir na integral:

Passo 5

Agora, substituímos , , e na integral original. A integral de linha fica:

Passo 6

Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão antes de integrar. Observe que os termos envolvendo e podem ser trabalhados separadamente, mas para fins didáticos vamos manter a expressão completa e proceder com a integração numérica ou simbólica, dependendo do que for mais conveniente.

Passo 8

Após realizar as simplificações e integrar a expressão, chegamos ao valor final da integral de linha.

Resposta

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