Calcule as integrais de linha.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício pediu! A gente está trabalhando com cálculo de integrais de linha, que é uma forma de integrar funções ao longo de um caminho no plano. Para isso, vamos precisar parametrizar o caminho que vai do ponto
até o ponto
, substituir na função dada e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para ir de
até
. Vamos optar por um caminho reto, que é uma linha reta que liga os dois pontos. Isso facilita a parametrização.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar esse caminho. Podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. As coordenadas
e
serão funções lineares que começam no ponto inicial e vão até o ponto final. Assim:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para substituir na integral:
Passo 5
Agora, substituímos
,
,
e
na integral original. A integral de linha fica:
Passo 6
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão antes de integrar. Observe que os termos envolvendo
e
podem ser trabalhados separadamente, mas para fins didáticos vamos manter a expressão completa e proceder com a integração numérica ou simbólica, dependendo do que for mais conveniente.
Passo 8
Após realizar as simplificações e integrar a expressão, chegamos ao valor final da integral de linha.
Resposta
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Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva as equações diferenciais.
Considere a curva
.
b) Se representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.
b) Se
Dado
, encontre o conjunto formado pelos números naturais de
;