Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fator integrante, para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja, se
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
e
, percebemos que
. Então, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, esse fator pode depender apenas de
ou de
. Vamos tentar um fator integrante que depende de
, ou seja,
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Calculando
:
Então,
Portanto, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Simplificando:
Agora, definimos:
Vamos verificar novamente se a equação é exata:
Agora,
, ou seja, a equação é exata!
Passo 5
Como a equação agora é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Então, a função potencial é:
Passo 6
A solução geral da equação é obtida igualando
a uma constante
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais.
Resolva os problemas de valor inicial:
Calcule as integrais de linha.
a) .
a)
Considere a curva
.
b) Se representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante
sobre a ação de um campo de forças
, determine o trabalho realizado por esse campo
para deslocar o corpo de
até
.
b) Se