Resolva os problemas de valor inicial:
6xy dx + (4y + 9x^2) dy = 0, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fator integrante, para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja, se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como e , percebemos que . Então, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, esse fator pode depender apenas de x ou de y. Vamos tentar um fator integrante que depende de y, ou seja, mu(y).
Para encontrar mu(y), usamos a fórmula:
Calculando :
Então,
Portanto, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Simplificando:
Agora, definimos:
Vamos verificar novamente se a equação é exata:
Agora, , ou seja, a equação é exata!

Passo 5

Como a equação agora é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a x:
Onde é uma função que depende apenas de y. Agora, vamos derivar em relação a y e igualar a para encontrar :
Simplificando:
Integrando em relação a y:
Então, a função potencial é:

Passo 6

A solução geral da equação é obtida igualando a uma constante K:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de K:
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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