Resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fator integrante, para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a , ou seja, se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como e , percebemos que . Então, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, esse fator pode depender apenas de ou de . Vamos tentar um fator integrante que depende de , ou seja, .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Calculando :
Então,
Portanto, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Simplificando:
Agora, definimos:
Vamos verificar novamente se a equação é exata:
Agora, , ou seja, a equação é exata!

Passo 5

Como a equação agora é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Então, a função potencial é:

Passo 6

A solução geral da equação é obtida igualando a uma constante :
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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a) .
Considere a curva .
b) Se representa a posição de um corpo sobre o plano em cada instante sobre a ação de um campo de forças , determine o trabalho realizado por esse campo para deslocar o corpo de até .