A equação de diferenças de primeira ordem y[n] - alpha * y[n-1] = x[n], 0 < alpha < 1, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
O sistema é:
Causal?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferenças de primeira ordem:
Essa equação descreve um sistema de tempo discreto que está inicialmente em repouso. O que precisamos descobrir é se esse sistema é causal. Para isso, vamos precisar entender o que significa um sistema ser causal e analisar a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sistema causal. Um sistema é dito ser causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada , ou seja, não depende de entradas futuras. Em outras palavras, para todo , só pode depender de etc.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação do sistema:
Rearranjando para isolar :
Aqui, vemos que depende de e de . O termo é a saída no instante anterior, e é a entrada no instante atual.

Passo 4

Vamos verificar se há dependência de valores futuros de . Na equação, não há termos como ou qualquer outro com índice maior que . Isso significa que a saída realmente depende apenas de entradas presentes e passadas.

Passo 5

Além disso, o sistema está inicialmente em repouso, o que implica que para , . Portanto, não há influências de entradas futuras afetando a saída atual.

Resposta

Sim, o sistema descrito pela equação é causal.

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