Considere a curva y=xn. Quando n é um inteiro positivo, a curva é uma função potência que começa na origem e cresce rapidamente à medida que x aumenta. Essas curvas podem ser usadas para modelar uma ampla gama de fenômenos, desde o crescimento de populações até o decaimento de materiais radioativos. Por exemplo, a função y=xn pode ser usada para modelar o crescimento de uma população de bactérias, em que n representa a taxa de crescimento. Seja n um número natural. Calcule a área entre as curvas y=xn e y=xn+1.
a. 1 over n squared
b. 1
c. n cubed plus 3 n plus 2
d. fraction numerator 1 over denominator n cubed plus 3 n plus 2 end fraction
e. fraction numerator 1 over denominator n squared minus left parenthesis n plus 1 right parenthesis squared end fraction

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas curvas: $ y = x^n $ e $ y = x^{n+1} $. A gente quer calcular a área entre essas duas curvas. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre curvas. Vamos precisar usar conceitos de funções potenciais e integrais definidas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas $ y = x^n $ e $ y = x^{n+1} $. Essas são funções potenciais onde $ n $ é um número natural. A curva $ y = x^n $ cresce conforme $ x $ aumenta e, como $ n+1 $ é maior que $ n $, a curva $ y = x^{n+1} $ cresce ainda mais rápido que $ y = x^n $.

Passo 3

Para encontrar a área entre duas curvas, a gente precisa determinar os pontos de interseção delas. Isso acontece quando $ x^n = x^{n+1} $. Vamos resolver essa equação:
x^n = x^n+1
Dividindo ambos os lados por $ x^n $ (lembrando que $ x \neq 0 $):
x^n = x^n+1
Então, as curvas se intersectam em $ x = 1 $ e também em $ x = 0 $ (já que ambas passam pela origem). Portanto, os limites de integração serão de 0 a 1.

Passo 4

Agora, a área $ A $ entre as duas curvas de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ é dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores. Podemos ver que para $ 0 < x < 1 $, $ y = x^n $ está acima de $ y = x^{n+1} $. Então:
A

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral:
A = integral0^1 x^n , dx - integral0^1 x^n+1 , dx
Calculando cada integral:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
integral x^n+1 , dx = x^n+2n+2 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
A = [ 1^n+1n+1 - 0^n+1n+1 ] - [ 1^n+2n+2 - 0^n+2n+2 ]
Simplificando, já que $ 0 $ elevado a qualquer potência é $ 0 $ e $ 1 $ elevado a qualquer potência é $ 1 $:
0

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma forma mais compacta:
A = 1n+1 - 1n+2 = (n+2) - (n+1)(n+1)(n+2) = 1(n+1)(n+2)

Resposta

A área entre as curvas é $ \displaystyle \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} $.

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