Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em , com coeficientes reais, sabendo que e sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício pedindo pra encontrar a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear de terceira ordem em , com coeficientes reais. A gente sabe que duas soluções dessa equação são e . Para resolver isso, vamos precisar usar teorias sobre equações diferenciais lineares e suas soluções características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa equação diferencial linear com coeficientes constantes, as soluções estão relacionadas com as raízes da equação característica. A gente vai montar essa equação característica usando as soluções que já conhecemos.

Passo 3

A solução sugere que uma das raízes da equação característica é . Já a solução indica raízes complexas da forma , já que está associada a raízes imaginárias puras.

Passo 4

Como a equação é de terceira ordem, temos três raízes: , e . Essas raízes nos dão as soluções fundamentais da equação diferencial.

Passo 5

Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para raízes complexas, usamos as funções e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde , e são constantes arbitrárias.

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Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas e ;
  • , em que
  • , em que
  • , em que
Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item em torno da reta . (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
  • , em que
  • , em que
  • , em que
(Extra) Determine a solução do problema de valor inicial para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordem em , com coeficientes reais, sabendo que e são duas soluções. (2 pontos)
OBS: Das questões 7 a 15, o assunto é Porcentagem
15) Quanto é de ?