Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício pedindo pra encontrar a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear de terceira ordem em
, com coeficientes reais. A gente sabe que duas soluções dessa equação são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar teorias sobre equações diferenciais lineares e suas soluções características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa equação diferencial linear com coeficientes constantes, as soluções estão relacionadas com as raízes da equação característica. A gente vai montar essa equação característica usando as soluções que já conhecemos.
Passo 3
A solução
sugere que uma das raízes da equação característica é
. Já a solução
indica raízes complexas da forma
, já que
está associada a raízes imaginárias puras.
Passo 4
Como a equação é de terceira ordem, temos três raízes:
,
e
. Essas raízes nos dão as soluções fundamentais da equação diferencial.
Passo 5
Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para raízes complexas, usamos as funções
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.