Considere uma v.a.c X com f.d.p dada por
f(x)= 2 x, & se 0á
Use a função F(x) para calcular P(1 / 2 e P(x>1 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma variável aleatória contínua f(x) = 2x, & se 0 < x < 1 0, & caso contrário com uma função densidade de probabilidade (f.d.p) definida por:
á
Nosso objetivo é usar a função distribuição acumulada para calcular as probabilidades e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a partir de e, em seguida, aplicar essa função para calcular as probabilidades desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função distribuição acumulada F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt . Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a :
No nosso caso, como é zero para e , a integral se simplifica.

Passo 3

Vamos calcular F(x) = 0 para os diferentes intervalos de F(x) = integral0^x 2t , dt :
  1. Para integral 2t , dt = t^2 + C :
    F(x) = x^2 - 0^2 = x^2
    Porque a f.d.p é zero nesse intervalo.
  2. Para F(x) = 1 :
    F(x) = 0, & x < 0 x^2, & 0 <= x <= 1 1, & x > 1
    Vamos resolver essa integral:
    Avaliando de 0 a :
  3. Para :
    Porque toda a área sob a f.d.p foi acumulada até .
Então, resumindo:

Passo 4

Agora que temos P(12 < x < 3) = P(12 < x < 1) , podemos calcular as probabilidades solicitadas.
  1. Calculando P(12 < x < 1) = F(1) - F(12) :
    Primeiro, note que P(12 < x < 1) = 1 - 14 = 34 é sempre verdadeiro dentro do suporte da f.d.p (já que P(x > 12) = 1 - P(x <= 12) = 1 - F(12) onde P(x > 12) = 1 - 14 = 34 é não-zero). Portanto:
    Usamos para isso:
    Sabemos que e :
  2. Calculando :
    Isso é equivalente a:
    Já sabemos que , então:

Resposta

Ambas as probabilidades e são iguais a .

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