A espessura das peças de uma maquina tem função de distribuição acumulativa dada por
Calcule a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter espessura entre 0.99 e 1.02 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulativa (CDF) para a espessura das peças de uma máquina, e precisa descobrir a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter uma espessura entre 0,99 e 1,02. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e entender como a função CDF funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulativa (CDF). A CDF, denotada por , nos dá a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .
Passo 3
A probabilidade de P(a <= X <= b) = F(b) - F(a) estar entre dois valores, digamos e , é dada por:
Isso porque é a probabilidade de ser menor ou igual a , e é a probabilidade de ser menor ou igual a . A diferença entre elas nos dá a probabilidade de estar entre e .
Passo 4
No nosso exercício, queremos encontrar F(x) = 0, & se x <= 0,95 10x - 9,5, & se 0,95 < x <= 1,05 1, & se x > 1,05 . Vamos calcular e usando a função CDF fornecida:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular F(1,02) = 10 times 1,02 - 9,5 = 10,2 - 9,5 = 0,7 . Como , usamos a segunda parte da função:
Passo 6
Agora, vamos calcular F(0,99) = 10 times 0,99 - 9,5 = 9,9 - 9,5 = 0,4 . Novamente, , então usamos a segunda parte da função:
Resposta
A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter espessura entre 0,99 e 1,02 é:
P(0,99 <= X <= 1,02) = F(1,02) - F(0,99) = 0,7 - 0,4 = 0,3 ou 30%