Beleza, vamos resolver esse exercício sobre variáveis aleatórias contínuas! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória , que é no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo e probabilidade para encontrar a função de distribuição acumulada, probabilidades específicas, esperança, variância e outros valores relacionados a .
Passo 2
(a) Encontrar a função de distribuição acumulada (F.D.A.) de .
A função de distribuição acumulada é obtida integrando a f.d.p. de desde o limite inferior até . Matematicamente, isso é:
Integrando:
Passo 3
(b) Calcular as probabilidades P(a <= X <= b) = F(b) - F(a) e P(0 <= X <= pi4) = F(pi4) - F(0) = 1 - cos(pi4)2 - 0 = 1 - raiz222 = 2 - raiz24 .
Para encontrar essas probabilidades, usamos a função de distribuição acumulada P(pi2 <= X <= 3pi4) = F(3pi4) - F(pi2) = 1 - cos(3pi4)2 - 1 - cos(pi2)2 :
(d) Calcular a probabilidade de [mu - 2sigma, mu + 2sigma] = [0, pi] estar no intervalo P(0 <= X <= pi) = 1 , onde e .
Primeiro, identificamos e .
Então, e .
Como nosso intervalo original é , ajustamos os limites:
Portanto:
Passo 6
(e) Encontrar os valores P(mu - a <= X <= mu + a) = 0.95 e F(mu + a) - F(mu - a) = 0.95 , simétricos em torno de 1 - cos(pi2 + a)2 - 1 - cos(pi2 - a)2 = 0.95 , de forma que cos(pi2 - a) - cos(pi2 + a)2 = 0.95 .
Como a distribuição é simétrica em torno de 2sin(pi2)sin(a)2 = 0.95 (usando a identidade trigonométrica) , buscamos sin(a) = 0.95 e a = arcsin(0.95) approx 1.253 radianos tal que:
k1 = pi2 - 1.253 approx 0.318 radianos
Usando a função de distribuição acumulada k2 = pi2 + 1.253 approx 2.819 radianos :