Considere uma v.a. com f.d.p. dada por:
Determine:
(a) A função de distribuição acumulada de ;
(b) As probabilidades e ;
© Esperança e variância de ;
(d) Calcule a probabilidade de pertencer ao intervalo , em que e
(e) Os valores e , simétricos em torno de , tal que ;
(f) Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre variáveis aleatórias contínuas! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória , que é no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo e probabilidade para encontrar a função de distribuição acumulada, probabilidades específicas, esperança, variância e outros valores relacionados a .

Passo 2

(a) Encontrar a função de distribuição acumulada (F.D.A.) de .
A função de distribuição acumulada é obtida integrando a f.d.p. de desde o limite inferior até . Matematicamente, isso é:
Integrando:

Passo 3

(b) Calcular as probabilidades e .
Para encontrar essas probabilidades, usamos a função de distribuição acumulada :
Primeiro, para :
Segundo, para :
Sabendo que e :

Passo 4

© Calcular a esperança e a variância de .
A esperança é definida como:
Usando integração por partes, onde e :
Aplicando integração por partes:
Para a variância , precisamos de :
Usando integração por partes duas vezes, obtemos:
Então, a variância é:

Passo 5

(d) Calcular a probabilidade de estar no intervalo , onde e .
Primeiro, identificamos e .
Então, e .
Como nosso intervalo original é , ajustamos os limites:
Portanto:

Passo 6

(e) Encontrar os valores e , simétricos em torno de , de forma que .
Como a distribuição é simétrica em torno de , buscamos e tal que:
Usando a função de distribuição acumulada :
é
Então,
Portanto,

Passo 7

(f) Mostrar que .
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira:
Sabemos que e .
Calculando :
Então,
Como é positivo no intervalo , temos:

Resposta

Prontinho! A função densidade de probabilidade realmente é igual a , conforme demonstrado.

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