Considere uma v.a. X com f.d.p. dada por:
f(x)=sen(x)2, 0 <= x <= pi
Determine:
(a) A função de distribuição acumulada de X;
(b) As probabilidades P(0 <= X <= pi4) e P(pi2 <= X <= 3 pi4);
© Esperança e variância de X;
(d) Calcule a probabilidade de X pertencer ao intervalo [mu-2 sigma ; mu+2 sigma], em que mu=E(X) e sigma=D P(X)
(e) Os valores k1 e k2, simétricos em torno de E(X), tal que P(k1 <= X <= k2)=0.95;
(f) Mostre que f(x)=raizF(x)-[F(x)]^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre variáveis aleatórias contínuas! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória , que é no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo e probabilidade para encontrar a função de distribuição acumulada, probabilidades específicas, esperança, variância e outros valores relacionados a .

Passo 2

(a) Encontrar a função de distribuição acumulada (F.D.A.) de F(x) = integral0^x f(t) , dt = integral0^x sin(t)2 , dt .
A função de distribuição acumulada F(x) = -cos(t)2 |0^x = -cos(x) + cos(0)2 = 1 - cos(x)2 é obtida integrando a f.d.p. de desde o limite inferior até . Matematicamente, isso é:
Integrando:

Passo 3

(b) Calcular as probabilidades P(a <= X <= b) = F(b) - F(a) e P(0 <= X <= pi4) = F(pi4) - F(0) = 1 - cos(pi4)2 - 0 = 1 - raiz222 = 2 - raiz24 .
Para encontrar essas probabilidades, usamos a função de distribuição acumulada P(pi2 <= X <= 3pi4) = F(3pi4) - F(pi2) = 1 - cos(3pi4)2 - 1 - cos(pi2)2 :
= 1 - (-raiz22)2 - 1 - 02 = 1 + raiz222 - 12 = raiz24
Primeiro, para :
Segundo, para :
Sabendo que e :

Passo 4

© Calcular a esperança E(X) = integral0^pi x cdot f(x) , dx = integral0^pi x cdot sin(x)2 , dx e a variância u = x Rightarrow du = dx de dv = sin(x)2 dx Rightarrow v = -cos(x)2 .
A esperança E(X) = uv |0^pi - integral0^pi v , du = [-x cos(x)2]0^pi + integral0^pi cos(x)2 , dx é definida como:
= [-pi cos(pi)2 + 0] + [sin(x)2]0^pi = pi2 + 0 = pi2
Usando integração por partes, onde E(X^2) = integral0^pi x^2 cdot sin(x)2 , dx e E(X^2) = pi^2 / 2 :
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = pi^22 - (pi2)^2 = pi^22 - pi^24 = pi^24
Aplicando integração por partes:
Para a variância , precisamos de :
Usando integração por partes duas vezes, obtemos:
Então, a variância é:

Passo 5

(d) Calcular a probabilidade de [mu - 2sigma, mu + 2sigma] = [0, pi] estar no intervalo P(0 <= X <= pi) = 1 , onde e .
Primeiro, identificamos e .
Então, e .
Como nosso intervalo original é , ajustamos os limites:
Portanto:

Passo 6

(e) Encontrar os valores P(mu - a <= X <= mu + a) = 0.95 e F(mu + a) - F(mu - a) = 0.95 , simétricos em torno de 1 - cos(pi2 + a)2 - 1 - cos(pi2 - a)2 = 0.95 , de forma que cos(pi2 - a) - cos(pi2 + a)2 = 0.95 .
Como a distribuição é simétrica em torno de 2sin(pi2)sin(a)2 = 0.95 (usando a identidade trigonométrica) , buscamos sin(a) = 0.95 e a = arcsin(0.95) approx 1.253 radianos tal que:
k1 = pi2 - 1.253 approx 0.318 radianos
Usando a função de distribuição acumulada k2 = pi2 + 1.253 approx 2.819 radianos :
é
Então,
Portanto,

Passo 7

(f) Mostrar que F(x) - [F(x)]^2 = 1 - cos(x)2 - (1 - cos(x)2)^2 .
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira:
Sabemos que = 1 - cos(x)2 - 1 - 2cos(x) + cos^2(x)4 e = 2(1 - cos(x)) - (1 - 2cos(x) + cos^2(x))4 .
Calculando = 2 - 2cos(x) - 1 + 2cos(x) - cos^2(x)4 :
= 1 - cos^2(x)4 = sin^2(x)4
raizF(x) - [F(x)]^2 = raizsin^2(x)4 = |sin(x)|2
raizF(x) - [F(x)]^2 = sin(x)2 = f(x)
Então,
Como é positivo no intervalo , temos:

Resposta

Prontinho! A função densidade de probabilidade realmente é igual a , conforme demonstrado.

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