Seja X uma v.a.d. que pode assumir qualquer valor do conjunto 0,1 e com probabilidades P(X=0)=P(X=1)=12. Esboce o gráfico da função de distribuição da v.a. X.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta (v.a.d.) chamada que pode assumir os valores 0 e 1, cada um com probabilidade igual de . O objetivo é esboçar o gráfico da função de distribuição dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de distribuição e como representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por F(x) = P(X <= x) , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como só pode ser 0 ou 1, vamos calcular para diferentes intervalos de .

Passo 3

Vamos analisar os diferentes casos para :
  1. Quando : Como só pode ser 0 ou 1, não há valores de menores que 0. Portanto, a probabilidade .
  2. Quando : Aqui, pode ser 0, que está dentro do intervalo . A probabilidade de é .
  3. Quando : Nesse caso, tanto quanto estão dentro do intervalo . Portanto, a probabilidade acumulada é .

Passo 4

Agora, vamos resumir esses resultados na função de distribuição F(x) = 0, & se x < 0 12, & se 0 <= x < 1 1, & se x >= 1 :
Isso significa que começa em 0 para valores menores que 0, salta para no ponto , e finalmente atinge 1 no ponto .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos representar em um sistema de coordenadas onde o eixo horizontal representa os valores de e o eixo vertical representa .
  1. Para : Desenhe uma linha horizontal no nível 0.
  2. No ponto : Faça um salto vertical de 0 para .
  3. Para : Desenhe uma linha horizontal no nível .
  4. No ponto : Faça outro salto vertical de para 1.
  5. Para : Desenhe uma linha horizontal no nível 1.

Resposta

O gráfico da função de distribuição da variável aleatória é uma função escalonada que começa em 0 para , salta para no ponto , permanece constante até , e então salta para 1 para .

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