Seja uma v.a.d. que pode assumir qualquer valor do conjunto e com probabilidades . Esboce o gráfico da função de distribuição da v.a. .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta (v.a.d.) chamada que pode assumir os valores 0 e 1, cada um com probabilidade igual de . O objetivo é esboçar o gráfico da função de distribuição dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de distribuição e como representá-la graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como só pode ser 0 ou 1, vamos calcular para diferentes intervalos de .
Passo 3
Vamos analisar os diferentes casos para :
Quando : Como só pode ser 0 ou 1, não há valores de menores que 0. Portanto, a probabilidade .
Quando : Aqui, pode ser 0, que está dentro do intervalo . A probabilidade de é .
Quando : Nesse caso, tanto quanto estão dentro do intervalo . Portanto, a probabilidade acumulada é .
Passo 4
Agora, vamos resumir esses resultados na função de distribuição :
Isso significa que começa em 0 para valores menores que 0, salta para no ponto , e finalmente atinge 1 no ponto .
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos representar em um sistema de coordenadas onde o eixo horizontal representa os valores de e o eixo vertical representa .
Para : Desenhe uma linha horizontal no nível 0.
No ponto : Faça um salto vertical de 0 para .
Para : Desenhe uma linha horizontal no nível .
No ponto : Faça outro salto vertical de para 1.
Para : Desenhe uma linha horizontal no nível 1.
Resposta
O gráfico da função de distribuição da variável aleatória é uma função escalonada que começa em 0 para , salta para no ponto , permanece constante até , e então salta para 1 para .