Considere um dado equilibrado. Para cada um das situações abaixo, identifique o modelo, obtenha a função de probabilidade, o valor esperado e a variância da variável de interesse, se possível.
(a) O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de vezes em que ocorreu face 1.
(a) O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de vezes em que ocorreu face 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um dado justo lançado 3 vezes de forma independente e queremos saber quantas vezes sai a face 1. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa é independente e tem duas opções: sucesso ou fracasso. Precisamos descobrir a função de probabilidade, o valor esperado e a variância dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o modelo. Como estamos contando quantas vezes sai a face 1 em 3 lançamentos, com cada lançamento sendo independente e com a mesma chance de sair a face 1, a distribuição binomial é perfeita para essa situação.
Passo 3
Agora, vamos para a função de probabilidade da binomial. A fórmula é:
Onde:
-
(número de lançamentos) -
(probabilidade de sair a face 1 em cada lançamento) -
é o número de vezes que queremos que a face 1 apareça
Passo 4
Vamos detalhar a função de probabilidade para cada possível valor de
(0, 1, 2, 3):
Isso significa que, por exemplo, para
:
E assim por diante para os outros valores de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado
da distribuição binomial. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Então, em média, esperamos que a face 1 apareça meia vez nos 3 lançamentos.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a variância
da distribuição binomial. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Resposta
A função de probabilidade é
, o valor esperado é
e a variância é
.