Considere um dado equilibrado. Para cada um das situações abaixo, identifique o modelo, obtenha a função de probabilidade, o valor esperado e a variância da variável de interesse, se possível.
(a) O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de vezes em que ocorreu face 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um dado justo lançado 3 vezes de forma independente e queremos saber quantas vezes sai a face 1. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa é independente e tem duas opções: sucesso ou fracasso. Precisamos descobrir a função de probabilidade, o valor esperado e a variância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o modelo. Como estamos contando quantas vezes sai a face 1 em 3 lançamentos, com cada lançamento sendo independente e com a mesma chance de sair a face 1, a distribuição binomial é perfeita para essa situação.

Passo 3

Agora, vamos para a função de probabilidade da binomial. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • (número de lançamentos)
  • (probabilidade de sair a face 1 em cada lançamento)
  • é o número de vezes que queremos que a face 1 apareça

Passo 4

Vamos detalhar a função de probabilidade para cada possível valor de P(X = k) = binom3k cdot (16)^k cdot (56)^3 - k (0, 1, 2, 3):
P(X = 1) = binom31 cdot (16)^1 cdot (56)^2 = 3 cdot 16 cdot 2536 = 75216
Isso significa que, por exemplo, para :
E assim por diante para os outros valores de .

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado E(X) = n cdot p da distribuição binomial. A fórmula é:
E(X) = 3 cdot 16 = 36 = 12
Substituindo os valores:
Então, em média, esperamos que a face 1 apareça meia vez nos 3 lançamentos.

Passo 6

Por fim, vamos calcular a variância Var(X) = n cdot p cdot (1 - p) da distribuição binomial. A fórmula é:
Var(X) = 3 cdot 16 cdot (1 - 16) = 3 cdot 16 cdot 56 = 1536 = 512
Substituindo os valores:

Resposta

A função de probabilidade é , o valor esperado é e a variância é .

Exercícios relacionados