Considere que, num lote de 40 peças, existam 8 defeituosas. Selecionando-se 10 dessas peças, sem reposição.
Qual é o valor esperado de peças defeituosas na amostra? Qual é a variância?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um lote com 40 peças, das quais 8 são defeituosas. Selecionamos 10 peças desse lote, sem repor as peças depois de selecionadas. Queremos descobrir qual é o valor esperado de peças defeituosas nessa amostra de 10 peças e qual é a variância dessa quantidade.
Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de distribuição hipergeométrica, que é usada quando selecionamos amostras sem reposição de um conjunto finito que contém dois tipos de objetos (no nosso caso, defeituosas e não defeituosas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o valor esperado. O valor esperado é basicamente a média que esperamos obter em várias amostras. Para a distribuição hipergeométrica, a fórmula do valor esperado E(X) = n times KN é:
E(X) = 10 times 840 = 10 times 0,2 = 2
Onde:
  • é o tamanho da amostra (10 peças),
  • é o número de itens de interesse na população (8 peças defeituosas),
  • é o tamanho da população total (40 peças).
Vamos substituir os valores:
Então, o valor esperado de peças defeituosas na amostra é 2 peças.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância. A variância nos diz o quanto os resultados podem variar em torno do valor esperado. Para a distribuição hipergeométrica, a fórmula da variância Var(X) = n times KN times (1 - KN) times N - nN - 1 é:
Var(X) = 10 times 840 times (1 - 840) times 40 - 1040 - 1
Vamos substituir novamente os valores:
Var(X) = 10 times 0,2 times 0,8 times 3039
Simplificando passo a passo:
Var(X) = 10 times 0,2 times 0,8 times 0,7692 approx 10 times 0,2 times 0,8 times 0,7692 approx 1,23
Então, a variância é aproximadamente 1,23.

Resposta

O valor esperado de peças defeituosas na amostra é 2 peças e a variância é aproximadamente 1,23.

Exercícios relacionados