Considere que, num lote de 40 peças, existam 8 defeituosas. Selecionando-se 10 dessas peças, sem reposição.
Qual é o valor esperado de peças defeituosas na amostra? Qual é a variância?
Qual é o valor esperado de peças defeituosas na amostra? Qual é a variância?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um lote com 40 peças, das quais 8 são defeituosas. Selecionamos 10 peças desse lote, sem repor as peças depois de selecionadas. Queremos descobrir qual é o valor esperado de peças defeituosas nessa amostra de 10 peças e qual é a variância dessa quantidade.
Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de distribuição hipergeométrica, que é usada quando selecionamos amostras sem reposição de um conjunto finito que contém dois tipos de objetos (no nosso caso, defeituosas e não defeituosas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o valor esperado. O valor esperado é basicamente a média que esperamos obter em várias amostras. Para a distribuição hipergeométrica, a fórmula do valor esperado
é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra (10 peças), -
é o número de itens de interesse na população (8 peças defeituosas), -
é o tamanho da população total (40 peças).
Vamos substituir os valores:
Então, o valor esperado de peças defeituosas na amostra é 2 peças.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância. A variância nos diz o quanto os resultados podem variar em torno do valor esperado. Para a distribuição hipergeométrica, a fórmula da variância
é:
Vamos substituir novamente os valores:
Simplificando passo a passo:
Então, a variância é aproximadamente 1,23.
Resposta
O valor esperado de peças defeituosas na amostra é 2 peças e a variância é aproximadamente 1,23.