Considere um dado equilibrado. Para cada um das situações abaixo, identifique o modelo, obtenha a função de probabilidade, o valor esperado e a variância da variável de interesse, se possível.
(b) O dado é lançado sucessivamente, de forma independente, até ocorrer a face 6. Estamos interessados em quantos lançamentos foram necessários.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar um dado equilibrado várias vezes até aparecer a face 6. O que precisamos entender aqui é um modelo de probabilidade que nos ajuda a calcular quantos lançamentos são necessários para conseguir o primeiro 6. Vamos usar a Distribuição Geométrica, que é perfeita para esse tipo de situação onde estamos contando tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável de interesse. Vamos chamar de o número de lançamentos necessários para obter o primeiro 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair um 6 em cada lançamento é .

Passo 3

Agora, vamos montar a função de probabilidade. Na Distribuição Geométrica, a probabilidade de que o primeiro sucesso (no caso, sair um 6) ocorra no P(X = k) = (1 - p)^k - 1 times p -ésimo lançamento é dada por:
P(X = k) = (56)^k - 1 times 16
Substituindo , temos:
Isso significa que, para obter o primeiro 6 no -ésimo lançamento, os primeiros lançamentos não foram 6, e o -ésimo foi 6.

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado, ou seja, a média de lançamentos necessários para obter o primeiro 6. Na Distribuição Geométrica, o valor esperado é dado por:
E(X) = 1p
Substituindo E(X) = 116 = 6 :
Então, em média, precisamos de 6 lançamentos para conseguir o primeiro 6.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a variância da variável Var(X) = 1 - pp^2 . A variância na Distribuição Geométrica é:
Var(X) = 1 - 16(16)^2 = 56136 = 5 times 6 = 30
Substituindo :
Então, a variância é 30.

Resposta

  • Modelo: Distribuição Geométrica
  • Função de Probabilidade:
  • Valor Esperado:
  • Variância:

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