Considere um dado equilibrado. Para cada um das situações abaixo, identifique o modelo, obtenha a função de probabilidade, o valor esperado e a variância da variável de interesse, se possível.
(b) O dado é lançado sucessivamente, de forma independente, até ocorrer a face 6. Estamos interessados em quantos lançamentos foram necessários.
(b) O dado é lançado sucessivamente, de forma independente, até ocorrer a face 6. Estamos interessados em quantos lançamentos foram necessários.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar um dado equilibrado várias vezes até aparecer a face 6. O que precisamos entender aqui é um modelo de probabilidade que nos ajuda a calcular quantos lançamentos são necessários para conseguir o primeiro 6. Vamos usar a Distribuição Geométrica, que é perfeita para esse tipo de situação onde estamos contando tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável de interesse. Vamos chamar de
o número de lançamentos necessários para obter o primeiro 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair um 6 em cada lançamento é
.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de probabilidade. Na Distribuição Geométrica, a probabilidade de que o primeiro sucesso (no caso, sair um 6) ocorra no
-ésimo lançamento é dada por:
Substituindo
, temos:
Isso significa que, para obter o primeiro 6 no
-ésimo lançamento, os primeiros
lançamentos não foram 6, e o
-ésimo foi 6.
Passo 4
Vamos calcular o valor esperado, ou seja, a média de lançamentos necessários para obter o primeiro 6. Na Distribuição Geométrica, o valor esperado é dado por:
Substituindo
:
Então, em média, precisamos de 6 lançamentos para conseguir o primeiro 6.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a variância da variável
. A variância na Distribuição Geométrica é:
Substituindo
:
Então, a variância é 30.
Resposta
- Modelo: Distribuição Geométrica
- Função de Probabilidade:
- Valor Esperado:
- Variância: